Chủ đề này có 6 trả lời

[supernatural1]

Cho n số thực không âm $ x_i, i=1,2,...,n $ sao cho tổng của chúng bằng 1 chứng minh rằng:

$ \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n}) < \frac{x_1^{2}}{1+x_1^{2}}+\frac{x_2^{2}}{1+x_2^{2}}+...\frac{x_n^{2}}{1+x_n^{2}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 18-08-2016 - 13:10

[dungxibo123]

Chebyshev ? hình như là vậy :V cố gắng biến đổi nha 

[thang1308]

đây là bài trong váo THTT à

[supernatural1]

tui không biết vì đây là bài kiểm tra chất lượng đầu năm câu cuối, ai giúp với

[supernatural1]

Ai giải hộ với

[leanh9adst]

Ai lại lấy bài trong thtt ra mà ấy vậy. Cả bài tháng 8 nữa kìa

[dinhtrongnhan]

Cho n số thực không âm $ x_i, i=1,2,...,n $ sao cho tổng của chúng bằng 1 chứng minh rằng:

$ \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n}) < \frac{x_1^{2}}{1+x_1^{2}}+\frac{x_2^{2}}{1+x_2^{2}}+...\frac{x_n^{2}}{1+x_n^{2}} $

Ta có các số $x_{i}$ không âm có tổng bằng 1 nên $x_{i}$$\leq$1 $\Rightarrow$$x_{i}^{2}$$\leq$$x_{i}$$\Rightarrow$$\frac{x_i}{1+x_i^{2}}$$\geq$$\frac{x_i}{1+x_i}$ (1)

Giả sử ta có $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$ là dãy tăng $\Rightarrow$$\frac{x_1}{1+x_1}$,$frac{x_2}{1+x_2},...,$\frac{x_n}{1+x_n}$ cũng là dãy tãng

Từ (1) và BĐT Chebyshev ta có

$\frac{x_1^{2}}{1+x_1^{2}}+\frac{x_2^{2}}{1+x_2^{2}}+...+\frac{x_n^{2}}{1+x_n^{2}}$$\geq$$\frac{x_1}{1+x_1}.x_1+\frac{x_2}{1+x_2}.x_2+...+\frac{x_n}{1+x_n}.x_n$$\geq$$ \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n})(x_1+x_2+...+x_n)= \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n})$

Dấu bàng xảy ra $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+...+x_n=1\\x_1=x_2=...=x_n=1 \end{matrix}\right.$ (vô lí)

Vậy dấu bằng không xảy ra$\Rightarrow$đpcm