Cho $n=3.l (l\in N^{*}),l\equiv 1(mod2),(l,3)=1$.
Tìm các giá trị của $l$ để $(2^{n}+1)\vdots n^{2}$.
Cho $n=3.l (l\in N^{*}),l\equiv 1(mod2),(l,3)=1$.
Tìm các giá trị của $l$ để $(2^{n}+1)\vdots n^{2}$.
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
Đầu tiên ta nhắc lại bổ đề quen thuộc sau :
Bổ đề (*) : Với $m$ là số nguyên dương và $gcd(a,m)=gcd(b,m)=1$ thì lúc đó nếu $a^x \equiv b^x \pmod{m} ,a^y \equiv b^y \pmod{m}$
Thì $a^{gcd(x,y)} \equiv b^{gcd(x,y)} \pmod{m}$
Có thể xem cách chứng minh tại đây
Bổ đề : Nếu $n|2^n+1$ thì $n=3^q.i$ với $(i,3)=1$
Chứng minh : $n$ lẻ đó là điều ta nhận thấy . Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ ta có từ FLT :
$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ và $2^{2n} \equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $2^{gcd(p-1,2n)} \equiv 1 \pmod{p}$
Mà dễ thấy $gcd(p-1,2n)=2$ (do $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ )
Do vậy $p=3$
Suy ra $n=3^q.i$ với $(i,3)=1$
Quay về bài toán :Xét $n=1$ thì thỏa với $n>1$ thì
Bằng LTE ta dễ suy ra được $q=1$ do đó $n=3.i$
Gọi $m$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $i$ khi đó : $m|2^{gcd(m-1,2n)}-1$ mà ta có $gcd(m-1,2n)$ nhận giá trị $2$ hay $6$ nếu là $2$ thì $m=3$
đây là điều vô lí . Nếu là $6$ thì ta suy ra $m=7$ từ đó suy ra $7|2^n+1$ ,vô lí vì $2^n+1 \equiv 2 \pmod{7}$ do đó $i=1$ hay $n=3$
P/s : Thực ra bài này ko cần những điều kiện trên vẫn giải được ,bạn có thể tham khảo lời giải và có thể lược bỏ một số ý mà bạn cho là không cần thiết
cái này là đề (IMO 1990 )
theo đề thì n chia hết cho 3
đặt v3(n)=k Ta có v3(2n+1) =v3(3) + k =1+k
ma 2n+1 chia hết cho n2 nên v3(2n+1)$\geq$ v3(n2) nen 1+k$\geq k$ nen k=1
goi q :ước nguyên tố nhỏ nhất của x
đặt n=3x ta có 26x$\equiv 1(mod q)$ chọn l là số nhỏ nhất sao cho 2l$\equiv 1 ( mod q )$ nên 6x chia hết cho l
suy ra l = 3:6
xét l=3 suy ra q=7 tương tự với l=6 thi 63 chia hết cho l vì vậy l =7.lúc này sẽ mâu thuẫn vi : 26x+1$\equiv 2(mod 7 )$ va n2 chia hết cho 7
do n chia hết cho 3 nên n =3 .
vậy :n= 3 thõa yêu cầu bài toán
Edited by hoangvunamtan123, 07-09-2016 - 18:47.
Đầu tiên ta nhắc lại bổ đề quen thuộc sau :
Bổ đề (*) : Với $m$ là số nguyên dương và $gcd(a,m)=gcd(b,m)=1$ thì lúc đó nếu $a^x \equiv b^x \pmod{m} ,a^y \equiv b^y \pmod{m}$
Thì $a^{gcd(x,y)} \equiv b^{gcd(x,y)} \pmod{m}$
Có thể xem cách chứng minh tại đây
Bổ đề : Nếu $n|2^n+1$ thì $n=3^q.i$ với $(i,3)=1$
Chứng minh : $n$ lẻ đó là điều ta nhận thấy . Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ ta có từ FLT :
$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ và $2^{2n} \equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $2^{gcd(p-1,2n)} \equiv 1 \pmod{p}$
Mà dễ thấy $gcd(p-1,2n)=2$ (do $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ )
Do vậy $p=3$
Suy ra $n=3^q.i$ với $(i,3)=1$
Quay về bài toán :Xét $n=1$ thì thỏa với $n>1$ thì
Bằng LTE ta dễ suy ra được $q=1$ do đó $n=3.i$
Gọi $m$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $i$ khi đó : $m|2^{gcd(m-1,2n)}-1$ mà ta có $gcd(m-1,2n)$ nhận giá trị $2$ hay $6$ nếu là $2$ thì $m=3$
đây là điều vô lí . Nếu là $6$ thì ta suy ra $m=7$ từ đó suy ra $7|2^n+1$ ,vô lí vì $2^n+1 \equiv 2 \pmod{7}$ do đó $i=1$ hay $n=3$
P/s : Thực ra bài này ko cần những điều kiện trên vẫn giải được ,bạn có thể tham khảo lời giải và có thể lược bỏ một số ý mà bạn cho là không cần thiết
làm rõ giúp mình đoạn này với.
cái này là đề (IMO 1990 )
theo đề thì n chia hết cho 3
đặt v3(n)=k Ta có v3(2n+1) =v3(3) + k =1+k
ma 2n+1 chia hết cho n2 nên v3(2n+1)$\geq$ v3(n2) nen 1+k$\geq k$ nen k=1
goi q :ước nguyên tố nhỏ nhất của x
đặt n=3x ta có 26x$\equiv 1(mod q)$ chọn l là số nhỏ nhất sao cho 2l$\equiv 1 ( mod q )$ nên 6x chia hết cho l
suy ra l = 3:6
xét l=3 suy ra q=7 tương tự với l=6 thi 63 chia hết cho l vì vậy l =7.lúc này sẽ mâu thuẫn vi : 26x+1$\equiv 2(mod 7 )$ va n2 chia hết cho 7
do n chia hết cho 3 nên n =3 .
vậy :n= 3 thõa yêu cầu bài toán
làm rõ giúp mình đoạn này với.
Đây đúng là 1 bài toán mở rộng IMO. Mình chứng minh được đến kết quả kia thì bị nghẽn nên nhờ mọi người làm nốt, phần dữ kiện thừa là do mình cung cấp từ những gì mình đã có cho m.n đỡ phải c.m ấy mà.
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
Mình nghĩ 2 cách giải trên đã có nhầm lẫn, mình sẽ tiếp tục ý tưởng như này: $2^{n}+1\equiv 0(mod n^{2})\\ --> (-8)^{l}\equiv 1(mod 9l^{2})\\ -->(-8)^{l}\equiv 1(modl)$. Đến đây có thể gọi m là ước nguyên tố bé nhất của l rồi dùng bậc của số nguyên để giải quyết nốt.
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
Mình nghĩ 2 cách giải trên đã có nhầm lẫn, mình sẽ tiếp tục ý tưởng như này: $2^{n}+1\equiv 0(mod n^{2})\\ --> (-8)^{l}\equiv 1(mod 9l^{2})\\ -->(-8)^{l}\equiv 1(modl)$. Đến đây có thể gọi m là ước nguyên tố bé nhất của l rồi dùng bậc của số nguyên để giải quyết nốt.
Nếu bạn muốn cách khác :
Bắt đầu từ đoạn ta có $n=3s$ với $(s,3)=1$
Gọi $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $s$ ,vì $(s,3)=1$ nên $q>5$ . Đặt $k=ord_q(2)$ ta có $2^{2n} \equiv 1 \pmod{q}$ dẫn đến $k|6s=2n$ và $k|q-1$ hay $k|(6s,q-1)$ mà $(s,q-1)=1$ nên $k=2$ suy ra $3 \vdots q$ với $q>5$ ,vô lí . Suy ra $s=1$
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Started by Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Started by Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Started by Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngStarted by Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users