Mọi người giúp em 2 bài này với ạ!
1, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh rằng $a+b+c \leq 3$
2, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4$
chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2+12 \geq 5(ab+bc+ca)$
Mọi người giúp em 2 bài này với ạ!
1, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh rằng $a+b+c \leq 3$
2, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4$
chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2+12 \geq 5(ab+bc+ca)$
Khi sự sống không bắt nguồn từ tình yêu
___Thì cuộc đời chẳng còn gì là ý nghĩa___
Mọi người giúp em 2 bài này với ạ!
1, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh rằng $a+b+c \leq 3$
Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành $$\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$$
Từ đó suy ra $0<\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}\leq 1$. Như vậy tồn tại $A,B,C$ thỏa $A+B+C=\pi$ và $\frac{a}{2}=cosA,\frac{b}{2}=cosB,\frac{c}{2}= cosC$.
Từ một BĐT cơ bản $$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$$ ta có ngay $a+b+c\leq 3$
Xem thêm bài toán ngược ở đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-09-2016 - 23:26
Thích ngủ.
Câu 1 có thể giải theo Dirichlet.
Ta có trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ tồn tại hai số cùng dấu, giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0$
Suy ra: $a+b-1\leq ab$.
Ta chứng minh $ab\leq 2-c$.
Chú ý rằng: $4=(a^2+b^2)+c^2+abc\geq 2ab+c^2+abc\Rightarrow ab\leq 2-c$
Do đó: $a+b-1\leq ab\leq 2-c\Rightarrow a+b+c\leq 3$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh