Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho:
$n=\dfrac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}$
a/ Chứng minh có vô số số đẹp?
b/ Số 2014 có phải là số đẹp hay ko?
Edited by Frankesten, 13-09-2016 - 20:04.
Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho:
$n=\dfrac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}$
a/ Chứng minh có vô số số đẹp?
b/ Số 2014 có phải là số đẹp hay ko?
Edited by Frankesten, 13-09-2016 - 20:04.
Why So Serious ?
a) Ta chọn $a=kc;b=kd (k \in \mathbb{N}^*),$ khi đó $n=k^4.$ Vậy các số $1^4;2^4;3^4;.....$ đều đẹp.
Ta có đpcm.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
b) Giả sử tồn tại các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $2014= \frac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}.$
Khi đó $2015a^4+b^4 \vdots 2014 \Rightarrow a^4+b^4 \vdots 2014 \Rightarrow a^4+b^4 \vdots 19.$
Do $19$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ nên theo một kết quả quen thuộc thì $a,b \vdots 19 \Rightarrow 2015a^4+b^4 \vdots 19^4 \Rightarrow 2015c^4+d^4 \vdots 19.$
Tương tự, ta suy ra $c, d \vdots 19.$ Đặt $a=19a_1;b=19b_1;c=19c_1;d=19d_1.$ Khi đó $2014= \frac{2015a_{1}^{4}+b_{1}^{4}}{2015c_{1}^{4}+d_{1}^{4}}.$
Tương tự, ta suy ra các số $a_1,b_1,c_1,d_1 \vdots 19.$ Làm như vậy nhiều lần, ta suy ra $a,b,c,d$ chia hết cho 19 một số vô hạn lần, đây là điều vô lý.
Vậy $2014$ không là số đẹp.
Edited by halloffame, 14-09-2016 - 19:11.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Started by Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Started by Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Started by Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngStarted by Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users