Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ . TÌm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3}$
TÌm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3}$
#1
Đã gửi 21-01-2017 - 17:17
#2
Đã gửi 21-01-2017 - 17:38
Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ . TÌm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3}$
Chứng minh
\[\sqrt{x+3} \geqslant \frac{1}{3}\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)x+\sqrt{3}.\]
- manhhung2013, trungdung19122002, Kagome và 1 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#3
Đã gửi 21-01-2017 - 17:56
Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ . TÌm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3}$
$(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3})^{2}=(x+y+z+3)+2\sum \sqrt{(x+3)(y+3)}=12+2\sum \sqrt{xy+9+3(x+y)}$
Do $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0 & \\ x+y+z=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-3)(y-3)\geq 0 & & \\ (y-3)(z-3)\geq 0& & \\ (z-3)(x-3)\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+9\geq 3(x+y) & & \\ yz+9\geq 3(y+z) & & \\ zx+9\geq 3(z+x) & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow xy+9+3(x+y)\geq 6(x+y)\geq 2(x+y)^{2}$ (Do $x+y\leq 3$)
Tương tự ...
$\Rightarrow 12+2\sum \sqrt{xy+9+3(x+y)}\geq 12+2\sqrt{2}(x+y+y+z+z+x)=12+12\sqrt{2}$
$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3}+\sqrt{6}$
Dấu "=" là $\left ( 3,0,0 \right )$ và hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 21-01-2017 - 19:21
- sharker, lelehieu2002 và working thích
#4
Đã gửi 21-01-2017 - 19:20
$\Rightarrow 12+2\sum \sqrt{xy+9+3(x+y)}\geq 12+2\sqrt{2}(x+y+y+z+z+x)=12+12\sqrt{2}$
$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3}+\sqrt{6}$
tại sao suy ra được luôn thế ạ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung19122002: 21-01-2017 - 19:25
#5
Đã gửi 21-01-2017 - 19:22
#6
Đã gửi 22-01-2017 - 10:20
tại sao suy ra được luôn thế ạ??
$\rightarrow \sqrt{xy+9+3(x+y)}\geq \sqrt{6(x+y)}\geq \sqrt{2(x+y)^{2}}=\sqrt{2}(x+y)$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, inequality
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh