11 replies to this topic

[duongduong2406]

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Edited by duongduong2406, 24-01-2017 - 20:22.

[hoangquochung3042002]

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

CM tương đương.

chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.

Edited by hoangquochung3042002, 24-01-2017 - 20:30.

[duongduong2406]

CM tương đương.

chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra x=y=3

dấu bằng xảy ra ???

Edited by duongduong2406, 24-01-2017 - 20:38.

[hoangquochung3042002]

x=y=1/3 chứ

a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.

[duongduong2406]

a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.

a+b+c=1

[tienduc]

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Cách khác 

$M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng BĐT $Am-GM$ ta có

$a^{2}+1= a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}=\frac{6a+8}{9}$

$\rightarrow \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9a}{6a+8}$

TT $\rightarrow \frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{9b}{6b+8};\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9c}{6c+8}$

$\rightarrow M\leq \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}=\frac{9}{2}-6(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$

Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có

$\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}$

$\rightarrow M\leq \frac{9}{2}-6.\frac{9}{3(a+b+c)+12}= \frac{9}{10}$

[hoangquochung3042002]

Cách khác 

$M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng BĐT $Am-GM$ ta có

$a^{2}+1= a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}=\frac{6a+8}{9}$

$\rightarrow \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9a}{6a+8}$

TT $\rightarrow \frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{9b}{6b+8};\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9c}{6c+8}$

$\rightarrow M\leq \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}+\frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}=\frac{9}{2}-6(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$

Áp dụng BĐT $schwarz$ ta có

$\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}$

 

Cách làm của bạn khả dụng khi tìm GTNN của M.

[tienduc]

Cách làm của bạn khả dụng khi tìm GTNN của M.

Bài này không có Min đâu bạn 

[Kamii0909]

CM tương đương.
chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.

Hãy đánh giá thử bất đẳng thức cuối xem vì sao nó đúng?

$$\sum \dfrac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10} $$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10} + \sum \dfrac{6(3a-1)}{25}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(3a-1)^2(4a+3)}{50(a^2+1)}\geq 0$$
Hiển nhiên đúng.

[Star Brand]

bạn tự biến đổi tương đương khúc thứ 2 nhé

 

\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum (\frac{18}{25}a+\frac{3}{50})=\frac{9}{10}

 

 

[tranductucr1]

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

Ta có $a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{9} \geq 10\sqrt[10]{\frac{a^{2}}{9^9}}=10\frac{\sqrt[5]{a}}{9^{\frac{9}{10}}}$(Cosi 10 số)
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}(a^{\frac{4}{5}}+b^{\frac{4}{5}} +c^{\frac{4}{5}})$
ta lại có => $\sqrt[5]{a^4} \leq \frac{\sqrt[5]{3}}{5}*( 4a+\frac{1}{3}) $(Cosi 5 số )
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}(\frac{\sqrt[5]{3}}{5}(4(a+b+c)+1))$
=> $VT \leq \frac{9^{\frac{9}{10}}}{10}*\sqrt[5]{3} = \frac{9}{10}$ dpcm 

Edited by tranductucr1, 10-02-2017 - 23:40.

[KietLW9]

Bài này đúng với mọi số thực $a,b,c$