Chủ đề này có 5 trả lời

[duongduong2406]

 cho a,b,c >0 và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$ . CMR $\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

[Trinm]

Áp dụng BĐT Minkowski 

Ta có : $\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}$

Lại có BĐT quen thuộc $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Tiếp tục, ta có $VT \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}=\sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}}+\frac{81.15}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{2.\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{81.15}{16.\frac{9}{4}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ... 

[TrungVS]

Áp dụng BĐT Minkowski
Ta có : $\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}} \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}$
Lại có BĐT quen thuộc $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Tiếp tục, ta có $VT \geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}=\sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{16(a+b+c)^{2}}+\frac{81.15}{16(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{2.\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{81.15}{16.\frac{9}{4}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ...

Có thể chứng minh cho em BĐT này ko ạ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

[Trinm]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}$

Dùng AM-GM nhé 

[duongduong2406]

Có thể chứng minh cho em BĐT này ko ạ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \geq (a.1/a + b.1/b + c.1/c)^{2} =9$

[tienduc]

 cho a,b,c >0 và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$ . CMR $\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Cách khác

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có 

$\sqrt{(1^{2}+4^{2})(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})}\geq a+\frac{4}{b}\rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})$

CMTT rồi cộng vế ta được 

$VT\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$

Ta có 

$a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=(a+\frac{1}{4a})+(b+\frac{1}{4b})+(c+\frac{1}{4c})+\frac{15}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ và $schwarz$ ta có

$a+\frac{1}{4a}\geq 1;b+\frac{1}{4b}\geq 1;c+\frac{1}{4c}\geq 1$

$\frac{15}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{15}{4}.\frac{9}{a+b+c}\geq \frac{15}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}= \frac{45}{2}$

$\rightarrow a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\geq \frac{51}{2}$

$\rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\frac{51}{2}= \frac{3\sqrt{17}}{2}$