Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: $ a+b^{2}+c^{3}=\frac{325}{9} $. Tìm GTNN của biểu thức:

$ P=a^{2}+b^{3}+c^{4} $

[tritanngo99]

Ý tưởng: Phương pháp tiếp tuyến và chọn điểm rơi cô si.

Lời giải: Chọn điểm rơi tại: $(a;b;c)=(2;\frac{8}{3};3)$.

Khi đó theo PP tiếp tuyến ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2\ge 4a-4\\b^3\ge 4b^2-\frac{256}{27}\\c^4\ge 4c^3-27  \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} (a-2)^2\ge 0\\(b+\frac{4}{3})(b-\frac{8}{3})^2\ge 0\\(c-3)^2(c^2+2c+3)\ge 0  \end{matrix}\right.$.

Cộng ba bất đẳng thức ta được: $P\ge 4(a+b^2+c^3)-(4+\frac{256}{27}+27)=\frac{2807}{27}$.

Vậy $P_{min}$=\frac{2807}{27} tại $(a;b;c)=(2;\frac{8}{3};3)$.

Mở rộng và cách giải:

Đề bài: Cho ba số $a,b,c$ dương thỏa mãn: $xa^m+yb^n+zc^p=T$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=ua^i+vb^j+wc^k$.

Cách giải: Ta chọn điểm rơi. Khi đó điểm rơi của bài toán là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xa^m+yb^n+zc^p=T\\ \frac{(ua^i)'}{(xa^m)'}=\frac{(vb^j)'}{(yb^n)'}=\frac{(wc^k)'}{(zc^p)'}  \end{matrix}\right.$.

Đến đây sử dụng PP tiếp tuyến. Bài toán được giải quyết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 12-02-2017 - 09:40