9 replies to this topic

[tcm]

Bài 1: Cho $a$, $b$ > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geqslant \frac{1}{1 + ab}$

 

Bài 2: Cho $a > b > c > 0$. Chứng minh rằng: $a^{3}b^{2} + b^{3}c^{2} + c^{3}a^{2} \geqslant a^{2}b^{3} + b^{2}c^{3} + c^{2}a^{3}$

 

Bài 3: Cho $a$, $b$ > 0 thoả mãn $a + b = 1$. Chứng minh rằng: $a^{4} + b^{4} \geqslant \frac{1}{8}$.

[tienduc]

Bài 1: Cho $a$, $b$ > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geqslant \frac{1}{1 + ab}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{(1+ab)(1+b)^2+(1+ab)(1+a)^2-(1+a)^2(1+b)^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ab(a^2+b^2)-a^2b^2-2ab+1}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)^2+(ab-1)^{2}}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$

Bất đẳng thức cuối đúng; từ đó ta có $đpcm$. Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$

[tienduc]

Bài 3: Cho $a$, $b$ > 0 thoả mãn $a + b = 1$. Chứng minh rằng: $a^{4} + b^{4} \geqslant \frac{1}{8}$.

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$2(a^4+b^4)\geq (a^2+b^2)^2;2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$

$\rightarrow (a^4+b^4)\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}= \frac{1}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b= \frac{1}{2}$

[tcm]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{(1+ab)(1+b)^2+(1+ab)(1+a)^2-(1+a)^2(1+b)^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ab(a^2+b^2)-a^2b^2-2ab+1}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)^2+(ab-1)^{2}}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$

Bất đẳng thức cuối đúng; từ đó ta có $đpcm$. Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$

 

Vì sao từ chỗ $\frac{(1+ab)(1+b)^2+(1+ab)(1+a)^2-(1+a)^2(1+b)^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$ anh suy ra được:

$\frac{ab(a^{2} + b^{2}) - a^{2}b^{2} - 2ab + 1}{(1 + a)^{2}(1 + b)^{2}(1 + ab)} \geqslant 0$ thế ?

Edited by tcm, 18-03-2017 - 14:00.

[viet9a14124869]

Vì sao từ chỗ $\frac{(1+ab)(1+b)^2+(1+ab)(1+a)^2-(1+a)^2(1+b)^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geq 0$ anh suy ra được:

$\frac{ab(a^{2} + b^{2}) - a^{2}b^{2} - 2ab + 1}{(1 + a)^{2}(1 + b)^{2}(1 + ab)} \geqslant 0$ thế ?

Chắc bạn ấy tách hết tử ra đó em !!!

Edited by viet9a14124869, 18-03-2017 - 20:04.

[tcm]

Chắc bạn ấy tách hết mẫu ra đó em !!!

 

Tách hết tử chứ anh nhỉ?

Mà nếu làm thế thì cơ hơi "dở" không anh? Em nghĩ phải có cách tách nào ngắn và dễ hơn chứ nhỉ

Edited by tcm, 18-03-2017 - 18:48.

[Haki]

Tách hết tử chứ anh nhỉ?

Mà nếu làm thế thì cơ hơi "dở" không anh? Em nghĩ phải có cách tách nào ngắn và dễ hơn chứ nhỉ

Anh ấy tách ra biến đổi tương đương đấy bạn 

[tienduc]

Bài 1: Cho $a$, $b$ > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geqslant \frac{1}{1 + ab}$

Cũng từ bài toán này ta cũng chứng minh được bài toán sau

Cho $abcd=1$. Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\geq 2$

 

P/s bài này dành cho các bạn làm thử 

Edited by tienduc, 26-03-2017 - 15:16.

[tcm]

Cũng từ bài toán này ta cũng chứng minh được bài toán sau

Cho $abcd=1$. Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\geq 1$

 

P/s bài này dành cho các bạn làm thử 

 

Em nghĩ là phải $\geq 2$ chứ anh nhỉ ? 

[tcm]

Cho $abcd=1$. Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\geq 1$

 

Hướng giải của em như sau:

 

Từ $abcd = 1$ ta có: $a = \frac{1}{bcd}$, $b = \frac{1}{acd}$, $c = \frac{1}{abd}$, $d = \frac{1}{abc}$ (1)

và $a$, $b$, $c$, $d$ $\neq 0$

Thay (1) vào bất đẳng thức đã cho, ta được:

$\frac{1}{(\frac{1}{bcd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{acd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abd})^{2} + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{abc})^{2} + 1} \geqslant 2$

$\Leftrightarrow \frac{(bcd)^{2}}{(bcd)^{2} + 1} + \frac{(acd)^{2}}{(acd)^{2} + 1} + \frac{(abd)^{2}}{(abd)^{2} + 1} + \frac{(abc)^{2}}{(abc)^{2} + 1} \geqslant 2$

Bất đẳng thức trên tương đương với:

$\frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant 2 \forall w, x, y, z > 0$

Dễ dàng chứng minh: $\frac{w}{w + 1} \geqslant \frac{1}{2} \forall w > 0$ ....

$\Rightarrow \frac{w}{w + 1} + \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$

hay $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} + \frac{1}{c^{2} + 1} + \frac{1}{d^{2} + 1} \geqslant 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = d$

Edited by tcm, 24-03-2017 - 12:12.