Chủ đề này có 1 trả lời

[haccau]

cho ba số a, b, c $\geq$ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a+b+c) + 27. tìm GTLN của BT:

$P=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^{2}-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

[NHoang1608]

cho ba số a, b, c $\geq$ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a+b+c) + 27. tìm GTLN của BT:

$P=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^{2}-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

Ta có $\sqrt{5}P = \sum{\frac{\sqrt{5(a-1)(a+1)}}{a}} \leq \sum{\frac{5(a-1)+a+1}{2a}} = \sum{\frac{3a-2}{a}} = 9- \sum{\frac{2}{a}}.$ $(1)$

Từ gt ta có $32=18(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+\frac{27}{abc}$

Đặt $(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})=(x;y;z)$

Suy ra $32 =18(xy+yz+zx)+27xyz$ 

Mặt khác áp dụng các bđt sau $(x+y+z)^{2} \geq 3(xy+yz+zx)$ và $(x+y+z)^{3} \geq 27xyz$

$\Rightarrow 32 \leq 6(x+y+z)^{2} + (x+y+z)^{3} \Rightarrow x+y+z \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2 \Rightarrow  -(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq -2$ $(2)$

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có $\sqrt{5}P \leq 9-2.2=5 \Rightarrow P \leq \sqrt{5}$

Vậy $Max_{P}=\sqrt{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 02-04-2017 - 23:28