Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a}$
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a}$
#1
Đã gửi 15-06-2017 - 09:50
#2
Đã gửi 15-06-2017 - 10:06
Đổi biến:$(a;b;c)=(\frac{x+y}{z};\frac{y+z}{x},\frac{z+x}{y})$.
Lúc đó ta có:
$S=\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ (Theo bất đẳng thức $Nesbit$).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-06-2017 - 10:07
- phuocchubeo, Kagome, didifulls và 2 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#3
Đã gửi 15-06-2017 - 13:08
Đổi biến:$(a;b;c)=(\frac{x+y}{z};\frac{y+z}{x},\frac{z+x}{y})$.
Lúc đó ta có:
$S=\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ (Theo bất đẳng thức $Nesbit$).
Mình mới nghĩ ra cách này, bạn xem hộ mình được không?
Từ điều kiện ta có: $\sum \frac{1}{ab} + \frac{2}{abc}=1$, đặt $\frac{1}{a}= x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$
Khi đó bài toán trở thành: $xy+yz+zx+2xyz=1$, tìm Min $S=x+y+z$
Từ điều kiện có $xy+yz+zx+2xyz=1 \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{2}{27}(x+y+z)^3$
tương đương với $(2S-3)(S+3)^2\geq 0$
Vậy $S\geq 3/2$
- huykinhcan99, Kagome, duylax2412 và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 18-06-2017 - 18:52
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a}$
Ta có
\[S - \frac32= \sum \frac{(a+b+2)(c-2)^2}{4c(3abc+ab+bc+ca)} + \sum \frac{c(a-b)^2}{2ab(3abc+ab+bc+ca)} \geqslant 0.\]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2.$
- duylax2412 yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh