Mn giải giúp vs ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phillippa08: 05-08-2017 - 14:28
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phillippa08: 05-08-2017 - 14:28
Bài này cũng khá hay.
Từ giả thiết ta suy ra: $x^3+y^3=p(x^2+y^2+xy)$ với $p$ nguyên tố.
Đặt:$d=(x,y)$ $\Rightarrow x=dm$ và $y=dn$ (với $(m,n)=1,m,n \in Z^{+}$)
Thay vào phương trình thì ta có:
$d(m+n)(m^2-mn+n^2)=p(m^2+mn+n^2)$.Từ đây suy ra:$d(m+n)(m^2-mn+n^2) \vdots (m^2+mn+n^2)$
Vì $(m,n)=1$ nên dẫn đến hai điều sau:
$(m+n,m^2+mn+n^2)=1$ và $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=1;2$
Nếu $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=1$ thì dẫn đến $d \vdots (m^2+mn+n^2)$
Cho nên: $p\vdots (m+n)(m^2-mn+n^2) \Rightarrow m=n=1;p=2$ kéo theo $d=3$.Và tính ra $x=3.1=3;y=3.1=3$
Nếu $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=2$ dẫn đến $2d \vdots (m^2+mn+n^2)$
Do vậy:$2p \vdots (m+n)(m^2-mn+n^2)$.Nếu $m^2-mn+n^2=1 \Rightarrow p=1 (False)$
Lẽ đó $2p$ chứa hai ước lớn hơn $1$ là $(m+n)$ và $(m^2-mn+n^2)$.Mà $2p$ chỉ có hai ước lớn hơn $1$ là $2$ và $p$.Rõ ràng $m+n$ không thể là $2$ cho nên $(m^2-mn+n^2)=2$.Không tồn tại $m,n$ như thế.
Vậy $(x,y)=(3,3)$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh