Chủ đề này có 1 trả lời

[Phillippa08]

Tìm số nguyên dương x, y sao cho $\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2}$ là số nguyên tố
Mn giải giúp vs ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phillippa08: 05-08-2017 - 14:28

[duylax2412]

Bài này cũng khá hay.

Từ giả thiết ta suy ra: $x^3+y^3=p(x^2+y^2+xy)$ với $p$ nguyên tố.

Đặt:$d=(x,y)$ $\Rightarrow x=dm$ và $y=dn$ (với $(m,n)=1,m,n \in Z^{+}$)

Thay vào phương trình thì ta có:

$d(m+n)(m^2-mn+n^2)=p(m^2+mn+n^2)$.Từ đây suy ra:$d(m+n)(m^2-mn+n^2) \vdots (m^2+mn+n^2)$

Vì  $(m,n)=1$ nên dẫn đến hai điều sau:

$(m+n,m^2+mn+n^2)=1$ và $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=1;2$

Nếu  $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=1$ thì dẫn đến $d \vdots (m^2+mn+n^2)$

Cho nên: $p\vdots (m+n)(m^2-mn+n^2) \Rightarrow m=n=1;p=2$ kéo theo $d=3$.Và tính ra $x=3.1=3;y=3.1=3$

Nếu  $(m^2-mn+n^2,m^2+mn+n^2)=2$ dẫn đến $2d \vdots (m^2+mn+n^2)$ 

Do vậy:$2p \vdots (m+n)(m^2-mn+n^2)$.Nếu $m^2-mn+n^2=1 \Rightarrow p=1 (False)$

Lẽ đó $2p$ chứa hai ước lớn hơn $1$ là $(m+n)$ và $(m^2-mn+n^2)$.Mà $2p$ chỉ có hai ước lớn hơn $1$ là $2$ và $p$.Rõ ràng $m+n$ không thể là $2$ cho nên $(m^2-mn+n^2)=2$.Không tồn tại $m,n$ như thế.

Vậy $(x,y)=(3,3)$