17 replies to this topic

[dat102]

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

[duylax2412]

Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại

[dat102]

Bạn chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ bằng biến đổi tương đương .Tương tự cho cái còn lại

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

Edited by dat102, 04-09-2017 - 19:26.

[Tinh1100174]

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

Kỷ thuật tiếp tuyến

[trungdung19122002]

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

[Diepnguyencva]

Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.

[hanguyen445]

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

Một LG khác

Attached Images

• 

[vmfquakui]

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

Phải dowload ở #1 trang này à

[vmfquakui]

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

Sao cứ bắt dowload z , bị quét đc 279 virus , mã hóa có xem dược đâu ,nạp tiền mới diệt đc

[dat102]

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}$

Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$

Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)

$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$

$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$

$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$

Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$

Suy ra đpcm

Edited by dat102, 08-09-2017 - 18:55.

[vmfquakui]

kỹ thuật hệ số bất định.. bạn có thể đọc ở đây : http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=7693

 

 

Dùng kỹ thuật hệ số bất định. Chương UCT của quyển '' Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học''.

Vậy lúc nào sử dụng UTC

[vmfquakui]

Kỷ thuật tiếp tuyến

khi nào dùng

[vmfquakui]

khi nào dùng

UTC

 

Một cách làm khác không dùng hệ số bất định.

Áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a}{a^2+1}= \frac{a}{a^2+\frac{1}{9} +\frac{8}{9}} \le \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}} = \frac{9a}{6a+8}$

Áp dụng BĐT: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$ với $x,y,z >0$ (Dễ dàng CM bằng AM-GM)

$(6a+8+6b+8+6c+8)(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \ge 9$

$\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8} \ge \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$

Ta có: $\frac{9a}{6a+8} = \frac{3}{2} - \frac{12}{6a+8}$

$\rightarrow \frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8} = \frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8})$

Lại có: $\frac{9}{2} - 12(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}) \le \frac{9}{2} - 12*\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}$

Suy ra đpcm

nếu dùng sao không từ đầu

Làm sao bạn tìm được $\frac{18}{25}a + \frac{3}{50}$ ?

UTC đó pạn

[vmfquakui]

dùng utc

[Diepnguyencva]

UCT chỉ dùng cho các bất đẳng thức dài và khó thôi. Vì thực sự dùng khá phức tạp, nên hạn chế dùng thôi

[hoangkimca2k2]

có cách nào khác không bạn

[Bolshevik]

Theo em bài này dùng được Chebyshev và nguyên lý Dirichlet nữa ạ

[Bolshevik]

$Cách 1: Dùng Chebyshev Từ AM-GM suy ra a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a Từ đó suy ra \frac{a}{a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\leq \frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}= \frac{9a}{6a+8} Vậy ta cần chứng minh \sum \frac{a}{6a+8}\leq \frac{1}{10} Xét \frac{a}{6a+8}-\frac{1}{30}= \frac{24a-8}{(6a+8)30} Vậy cần chứng minh \sum \frac{24a-8}{6a+8}\leq 0 Giả sử a\geq b\geq c nhận ra 2 chuỗi số sau ngược chiều 24a-8,24b-8,24c-8 \frac{1}{6a+8},\frac{1}{6b+8},\frac{1}{6c+8} xét bất đẳng thức Chebyshev ta có đpcm$

Edited by Bolshevik, 10-02-2019 - 23:41.