Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.
CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi souhh: 25-09-2017 - 21:29
Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.
CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi souhh: 25-09-2017 - 21:29
Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.
CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.
Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=11$ là số nguyên tố
Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=11$ là số nguyên tố
Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=16$ là hợp số mà bạn.
Nhận xét: Với $a,b,c,d \in Z^{+}$ mà $ab=cd$ thì $a+b+c+d$ là hợp số.
Chứng minh: Đặt $(a,c)=k \Rightarrow a=ka{'};c=kc{'}$ với $(a',c')=1$.Thay vào ta có $a'b=c'd \Rightarrow a'|c'd \Rightarrow a'|d$ .Đặt $d=a'd'$ Thay vào tiếp ta có $b=c'd'$
Khi đó $a+b+c+d=ka'+c'd'+kc'+a'd'=(a'+c')(k+d')$ là hợp số.
Trở lại bài toán. Bỏ qua trường hợp $ab+c^2$ không chính phương ta đặt :$ab+c^2=m^2 \Rightarrow ab=(m-c)(m+c)$
Khi đó $\exists r,s \in Z^{+}$ sao ccho $m-c=r$;$m+c=s$ và $r.s=ab$ .Giải ra ta có $2m=r+s$
Áp dụng nhận xét trên với $a,b,r,s$ nguyên dương thỏa $ab=rs$ thì $A=a+b+2\sqrt{ab+c^2}=a+b+2m=a+b+r+s$ là hợp số.
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh