Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho dãy số thực $ (U_{n}) $ xác định: $ U_{1}>0, U_{n+1}=10^{n}.U_{n}^{2} $. Tìm các giá trị của $ U_{1} $ để $ \lim U_{n}=0 $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 15-10-2017 - 07:31

[tritanngo99]

Cho dãy số thực $ (U_{n}) $ xác định: $ U_{1}>0, U_{n+1}=10^{n}.U_{n}^{2} $. Tìm các giá trị của $ U_{1} $ để $ \lim U_{n}=0 $.

Ta có: $u_{n+1}=10^n.u_n^2\implies log(u_{n+1})=n+2log(u_n)\iff log(u_{n+1})+(n+1)+1=2[log(u_n)+n+1](1)$.

Đặt $v_n=log(u_n)+n+1=log(10^{n+1}.u_n)$.

Khi đó: $(1)\iff v_{n+1}=2v_n=2^2.v_{n-1}=...2^n.v_1$.(Quy nạp).

$\iff log(10^{n+2}.u_{n+1})=2^n.log(10^2.u_1)=log[(10^2.u_1)^{2^n}]$.

$\implies u_{n+1}=\frac{(100u_1)^{2^n}}{10^{n+2}}$.

Do đó để $lim(u_n)=0$ thì $100u_1\in (0;1)$.

$\implies u_1\in (0;\frac{1}{100})$.

Vậy $u_1\in (0;\frac{1}{100})$.