Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn
#1
Đã gửi 09-01-2018 - 22:48
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
#2
Đã gửi 10-01-2018 - 07:02
Cho dãy số $(u_{n})$ xác định với $u_{0}>0,u_{1}>0$ và $u_{n+2}=\frac{2}{u_{n+1}+u_{n}}$. Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$
Do đó, dãy $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.
Đặt $b_n= u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n}$ và $b$ là giới hạn của dãy $\{b_n\}.$
Đặt $v_n=|u_n- \frac{b}{3}|, c_n=|b_n-b|,n\in \mathbb{N}.$
Suy ra $v_{n+1}\le \frac{1}{2} v_n+ c_n, n\in \mathbb{N}.$
Bổ đề giới hạn
Cho hai dãy số dương $ (a_{n}), (b_{n}) $ và số q thuộc [0;1) sao cho $ a_{n+1} \leq q.a_{n}+b_{n} $ với mọi số tự nhiên n. Khi đó nếu $ lim(b_{n})=0 $ thì $ lim(a_{n})=0 $.
Chứng minh xem tại https://diendantoanh...bổ-đề-giới-hạn/
Từ bổ đề, chúng ta có dãy $\{v_{n}\}$ hội tụ về 0 và $\{u_n\}$ hội tụ. Từ hệ thức truy hồi, ta dễ dàng chỉ ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ về 1.
P.S: Bài toán này đã tứng xuất hiện trong topic những bài toán dãy trên mathlink.ro nhưng lời giải khá phức tạp (không dùng Bổ đề giới hạn).
- Zz Isaac Newton Zz yêu thích
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 10-01-2018 - 07:04
Loạt bài toán cùng ý tưởng
https://diendantoanh...-0/#entry699804
https://diendantoanh...46-tìm-lim-u-n/
https://diendantoanh...092010sqrt4u-n/
https://diendantoanh...132014sqrt4u-n/
Hầu hết các bài toán này, người ta sử dụng kỹ thuật dãy phụ (dãy min-max) để giải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 10-01-2018 - 07:22
- Zz Isaac Newton Zz yêu thích
Đời người là một hành trình...
#4
Đã gửi 11-01-2018 - 16:29
Dễ thấy $u_{n+2}\le \frac{1}{2} u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n},n\in \mathbb{N}.$
Do đó, dãy $\{u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới. Do đó, dãy này hội tụ.
Thât tiếc bất đẳng thức đầu tiên đã sai
Đời người là một hành trình...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, giới hạn
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạnBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 dãy sô, giới hạn |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \varepsilon \right )\epsilon \mathbb{N}$Bắt đầu bởi Niko27, 06-12-2023 giới hạn |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.Bắt đầu bởi Explorer, 29-11-2023 giới hạn, điểm gián đoạn và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$Bắt đầu bởi Explorer, 31-10-2023 dãy số, đại số, hàm ngược, hàm số |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+cos(2n)}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-10-2023 lim, giới hạn |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh