Chủ đề này có 5 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng 

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

[YoLo]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng 

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

A=$\sum \frac{ab}{c+1}$

=$\sum \frac{ab}{c+a+c+b}$

$\sum \frac{ab}{c+a+c+b}<=\sum \frac{1}{4}ab(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})$=1/4(a+b+c)=1/4

 => A<=1/4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 25-01-2018 - 19:46

[ngonluahoangkim]

có ai biết ách đăng 1 bài nào lên ko

[DOTOANNANG]

https://diendantoanh...rac14/?p=524953

[DOTOANNANG]

Cách 2 như sau:

BĐT cần cm tương đương với:
$\frac{1}{a\left ( a+ 1 \right )}+ \frac{1}{b\left ( b+ 1 \right )}+ \frac{1}{c\left ( c+ 1 \right )}\leq \frac{1}{4abc}$

Viết lại:

$\frac{1}{a+ 1}+ \frac{1}{b+ 1}+ \frac{1}{c+ 1}\geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{1}{4abc}$

Ta chứng minh được:

$\frac{1}{a+ 1}+ \frac{1}{b+ 1}+ \frac{1}{c+ 1}\geq \frac{9}{a+ 1+ b+ 1+ c+ 1}= \frac{9}{4}$

Giờ thì ta cần chứng minh:

$\frac{9}{4}\geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{1}{4abc} \Leftrightarrow \left ( a+ b+ c \right )^{3}+ 9abc\geq 4\left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )$(đúng theo BĐT Schur)

[Diepnguyencva]

Cách 1 đơn giản hơn, còn cách 2 phức tạp và phải chứng minh bất đẳng thức phụ