Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
A=$\sum \frac{ab}{c+1}$
=$\sum \frac{ab}{c+a+c+b}$
$\sum \frac{ab}{c+a+c+b}<=\sum \frac{1}{4}ab(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})$=1/4(a+b+c)=1/4
=> A<=1/4
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 25-01-2018 - 19:46
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
Cách 2 như sau:
BĐT cần cm tương đương với:
$\frac{1}{a\left ( a+ 1 \right )}+ \frac{1}{b\left ( b+ 1 \right )}+ \frac{1}{c\left ( c+ 1 \right )}\leq \frac{1}{4abc}$
Viết lại:
$\frac{1}{a+ 1}+ \frac{1}{b+ 1}+ \frac{1}{c+ 1}\geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{1}{4abc}$
Ta chứng minh được:
$\frac{1}{a+ 1}+ \frac{1}{b+ 1}+ \frac{1}{c+ 1}\geq \frac{9}{a+ 1+ b+ 1+ c+ 1}= \frac{9}{4}$
Giờ thì ta cần chứng minh:
$\frac{9}{4}\geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{1}{4abc} \Leftrightarrow \left ( a+ b+ c \right )^{3}+ 9abc\geq 4\left ( a+ b+ c \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )$(đúng theo BĐT Schur)
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh