Chủ đề này có 2 trả lời

[slenderman123]

Với $a,b,c>0$, CMR: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a +abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 13-02-2018 - 23:10

[nmtuan2001]

Với $a,b,c>0$, CMR: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $(b-a)(b-c) \leq 0$, hay $b^2+ac \leq ab+bc$.

Suy ra $b^2c+c^2a \leq abc+bc^2$.

$$a^2b+b^2c+c^2a<a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq a^2b+bc^2+2abc=b(a+c)^2=\frac{1}{2}.(2b).(a+c).(a+c)$$

$$\leq \frac{1}{54}(2b+a+c+a+c)^3=\frac{4(a+b+c)^3}{27}$$

Dấu $=$ không xảy ra.

[Duy Thai2002]

Ta có: $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a<a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

=> Đpcm.