\[a, b, c>0\]
\[a+ b+ c= 1\]
CM: \[\frac{b}{a\left ( b+ c \right )}+ \frac{c}{b\left ( c+ a \right )}+ \frac{a}{c\left ( a+ b \right )}\geq \frac{9}{2}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-02-2018 - 09:54
\[a, b, c>0\]
\[a+ b+ c= 1\]
CM: \[\frac{b}{a\left ( b+ c \right )}+ \frac{c}{b\left ( c+ a \right )}+ \frac{a}{c\left ( a+ b \right )}\geq \frac{9}{2}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-02-2018 - 09:54
\[a, b, c>0\]
\[a+ b+ c= 1\]
CM: \[\frac{b}{a\left ( b+ c \right )}+ \frac{c}{b\left ( c+ a \right )}+ \frac{a}{c\left ( a+ b \right )}\geq \frac{9}{2}\]
$VT = \frac{b}{a(b+c)}+\frac{c}{b(c+a)}+\frac{a}{c(a+b)}$
$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3abc}$
Giả sử b nằm giữa a và c. Khi đó:
$(b-a)(b-c)\leq 0$
$\Leftrightarrow b^{2}+ac\leq ab+bc$
$\Leftrightarrow ab^{2}+ca^{2}\leq a^{2}b+abc$
$\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq b(a+c)^{2}=\frac{1}{2}2b(a+c)(a+c)\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}=\frac{4}{27}$
Và: $2abc\leq 2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{2}{27}$
Suy ra:
$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3abc}\geq \frac{9}{2} (đpcm)$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh