Chủ đề này có 1 trả lời

[DOTOANNANG]

\[a, b, c>0\]

\[a+ b+ c= 1\]

CM: \[\frac{b}{a\left ( b+ c \right )}+ \frac{c}{b\left ( c+ a \right )}+ \frac{a}{c\left ( a+ b \right )}\geq \frac{9}{2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-02-2018 - 09:54

[CatKhanhNguyen]

\[a, b, c>0\]

\[a+ b+ c= 1\]

CM: \[\frac{b}{a\left ( b+ c \right )}+ \frac{c}{b\left ( c+ a \right )}+ \frac{a}{c\left ( a+ b \right )}\geq \frac{9}{2}\]

$VT = \frac{b}{a(b+c)}+\frac{c}{b(c+a)}+\frac{a}{c(a+b)}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3abc}$

Giả sử b nằm giữa a và c. Khi đó:

$(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow b^{2}+ac\leq ab+bc$

$\Leftrightarrow ab^{2}+ca^{2}\leq a^{2}b+abc$

$\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq b(a+c)^{2}=\frac{1}{2}2b(a+c)(a+c)\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}=\frac{4}{27}$

Và: $2abc\leq 2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{2}{27}$

Suy ra:

$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+3abc}\geq \frac{9}{2} (đpcm)$