Chủ đề này có 2 trả lời

[doraemon123]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.

Chứng minh rằng:

$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\geq \frac{1}{3}$

[Khoa Linh]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1.

Chứng minh rằng:

$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng BCS liên tục như sau:

$\frac{a^7+b^7}{a^5+a^5}\geq \frac{a^5+a^5}{a^3+a^3}\geq \frac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{4}$

Suy ra $VT\geq \frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{4}\geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{12}=\frac{1}{3}$

[dai101001000]

$\frac{a^{7}+ b^{7}}{a^{5}+ b^{5}}\geq _{CHEBYSHEV}\frac{a^{2}+ b^{2}}{2}$

Làm tương tự với các trường hợp còn lại, ta được $\frac{a^{7}+ b^{7}}{a^{5}+ b^{5}}+ ...+ \frac{c^{7}+ a^{7}}{c^{5}+ a^{5}}\geq \frac{\left ( a^{2}+ b^{2} \right )+ ...+ \left ( c^{2}+ a^{2} \right )}{2}\geq \frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}= \frac{1}{3}$