Chủ đề này có 1 trả lời

[dai101001000]

Cho: $ a, b, c \geq 0 $, $ \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 $

CM: \[ {\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{3}{2} \le \frac {1}{1 + 2a} + \frac{1}{1 + 2b} + \frac{1}{1 + 2c}}. \]

[nmtuan2001]

Cho: $ a, b, c \geq 0 $, $ \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2 $

CM: \[ {\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{3}{2} \le \frac {1}{1 + 2a} + \frac{1}{1 + 2b} + \frac{1}{1 + 2c}}. \]

Từ gt ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z}, b=\frac{y}{z+x}, c=\frac{z}{x+y}$. BĐT trở thành:

$$\sum \sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}} \leq \frac{3}{2} \leq \sum \frac{y+z}{2x+y+z}$$

Áp dụng BĐT AM-GM: $\sum \sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}} \leq \frac{1}{2}\sum \left( \frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z} \right)=\frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{y+z}{2x+y+z} \geq \frac{4(x+y+z)^2}{\sum (y+z)(2x+y+z)}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \geq \frac{3}{2}$