Chủ đề này có 2 trả lời

[dai101001000]

Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$

[nmtuan2001]

Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$

BĐT tương đương với

$$(a+b+c)^4 \geq 16(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

$$a^4+b^4+c^4+4\sum ab(a^2+b^2)+12abc(a+b+c) \geq 10\sum a^2b^2$$

BĐT Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq \sum ab(a^2+b^2)$, nên $VT \geq 5\sum ab(a^2+b^2) \geq 10\sum a^2b^2$.

[PugMath]

Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$

$ab\leqslant \frac{(a+b)^{2}}{4}=(ab)^{2}\leqslant \frac{(a+b)^{4}}{16} bdt(debai)<=>(ab)^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2})\leqslant \frac{(a+b)^{4}}{16}+c^{2}[(a+b)^{2}-2ab])\leqslant \frac{(2-c)^{4}}{16}+c^{2}(2-c)^2 .can.c/m \frac{(2-c)^{4}}{16}+c^{2}(2-c)^2\leqslant 1<=>17c^{4}-72c^{3}-88c^{2}-32c\leqslant0<=>c(17c^3-72c^2-88c-32)\leqslant0;taco:c\geqslant 0=>17c^3-72c^2-88c-32\leqslant 0(c\epsilon \left [ 0;2 \right ]).f'(c)=51c^{2}-144c-88 (dung.mt.bam.no.thay.no.ko.thuoc.khoang[0;2])=>vo.no=>f(c)\leqslant f(0)=-32.dau"="xay.rakhi:a=b=1;c=0(va.cac.hoan.vi)$

ko bt đúng ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 11-03-2018 - 11:04