Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$
#1
Đã gửi 11-03-2018 - 08:34
#2
Đã gửi 11-03-2018 - 10:34
Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$
BĐT tương đương với
$$(a+b+c)^4 \geq 16(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
$$a^4+b^4+c^4+4\sum ab(a^2+b^2)+12abc(a+b+c) \geq 10\sum a^2b^2$$
BĐT Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq \sum ab(a^2+b^2)$, nên $VT \geq 5\sum ab(a^2+b^2) \geq 10\sum a^2b^2$.
- dai101001000 yêu thích
#3
Đã gửi 11-03-2018 - 11:02
Cho $\left\{\begin{matrix} a, b, c &\geq 0 \\ a+ b+ c &= 2 \end{matrix}\right.$. CMR: $a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2}\leq 1$
$ab\leqslant \frac{(a+b)^{2}}{4}=(ab)^{2}\leqslant \frac{(a+b)^{4}}{16} bdt(debai)<=>(ab)^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2})\leqslant \frac{(a+b)^{4}}{16}+c^{2}[(a+b)^{2}-2ab])\leqslant \frac{(2-c)^{4}}{16}+c^{2}(2-c)^2 .can.c/m \frac{(2-c)^{4}}{16}+c^{2}(2-c)^2\leqslant 1<=>17c^{4}-72c^{3}-88c^{2}-32c\leqslant0<=>c(17c^3-72c^2-88c-32)\leqslant0;taco:c\geqslant 0=>17c^3-72c^2-88c-32\leqslant 0(c\epsilon \left [ 0;2 \right ]).f'(c)=51c^{2}-144c-88 (dung.mt.bam.no.thay.no.ko.thuoc.khoang[0;2])=>vo.no=>f(c)\leqslant f(0)=-32.dau"="xay.rakhi:a=b=1;c=0(va.cac.hoan.vi)$
ko bt đúng ko
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 11-03-2018 - 11:04
- dai101001000 yêu thích
Trương Văn Hào ☺☺ 超クール
Kawaiiii ☺
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh