Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$
Cách 1: Áp dụng $SOS$
Ta có: $\frac{2a^{4}}{a^{3}+b^{3}}-a=\frac{a(a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}}=\frac{a(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{3}+b^{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 31-03-2018 - 21:02
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$
Cách 2: Biến đổi tương đương
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\sum_{cyc}\frac{x^{4}}{y^{3}+z^{3}}-\frac{1}{2}\sum_{sym}x$
$=\frac{(y-z)^{2}(z-x)^{2}(x-y)^{2}(xy+yz+xz)^{2}}{4(y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3})(z^{3}+x^{3})}+\sum_{cyc}\frac{z^{2}(y-z)^{2}(2z^{3}(x^{3}+y^{3}))+z^{2}x^{2}(x+y)^{2}+2zx^{4}y+x^{4}(x^{2}+y^{2})}{4(y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3})(z^{3}+x^{3})}\geq 0$
$(Q.E.D)$
$$\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3} \ge \frac{a+b+c}{2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+\frac{a^4c^3}{a^3+b^3}+\frac{b^4a^3}{b^3+c^3}+\frac{c^4b^3}{c^3+a^3}\ge \frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{2}$$
$$\frac{a^4c^3}{a^3+b^3}+\frac{b^4a^3}{b^3+c^3}+\frac{c^4b^3}{c^3+a^3}$$
$$\ge \frac{(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2)^2}{c(a^3+b^3)+a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)}$$
$$\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-\frac{a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)}{4}$$
$$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3a(b^3+c^3)+3b(c^3+a^3)+3c(a^3+b^3)$$
$$(a^2-ab+b^2)(a-b)^2+(b^2-bc+c^2)(b-c)^2+(c^2-ca+a^2)(c-a)^2 \ge 0 $$
$$\frac{a^{\,5}}{a^{\,4}\,+\, b^{\,4}}\,+ \,\frac{b^{\,5}}{b^{\,4}\,+ \,c^{\,4}}\,+ \,\frac{c^{\,5}}{c^{\,4}\,+\, a^{\,4}}\,\geq \, \frac{a\,+\, b\,+\, c}{2}$$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh