Chủ đề này có 5 trả lời

[minhhungtuan]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh

$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$

[hoangkimca2k2]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh

$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Cách 1: Áp dụng $SOS$ 

Ta có: $\frac{2a^{4}}{a^{3}+b^{3}}-a=\frac{a(a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}}=\frac{a(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{3}+b^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{2a^{4}}{a^{3}+b^{3}}-a-\frac{3(a-b)}{2}=(a-b)\begin{bmatrix}\frac{a(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{3}+b^{3}} -\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$=(a-b)^{2}\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{2(a^{3}+b^{3})}$

Từ đó bất đẳng thức trở thành có dạng $S=S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$

Với: $S_{a}=\frac{3c^{2}+bc-b^{2}}{b^{3}+c^{3}};S_{b}=\frac{3a^{2}+ac-c^{2}}{c^{3}+a^{3}};S_{c}=\frac{3b^{2}+ab-a^{2}}{a^{3}+b^{3}}$

TH1: $a\geq b\geq c$. Dễ dàng chứng minh được $S_{b}+2S_{c}\geq 0;a^{2}S_{b}+2b^{2}S_{a}\geq 0$. Nên $S\geq 0$

 

TH2: $c\geq b\geq a$. Ta có: $S_{c}+2S_{b}\geq 0;S_{a}+2S_{b}\geq 0$ Nên $S\geq 0$. $(Q.E.D)$

[Khoa Linh]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 31-03-2018 - 21:02

[hoangkimca2k2]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh

$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Cách 2: Biến đổi tương đương

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\sum_{cyc}\frac{x^{4}}{y^{3}+z^{3}}-\frac{1}{2}\sum_{sym}x$

$=\frac{(y-z)^{2}(z-x)^{2}(x-y)^{2}(xy+yz+xz)^{2}}{4(y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3})(z^{3}+x^{3})}+\sum_{cyc}\frac{z^{2}(y-z)^{2}(2z^{3}(x^{3}+y^{3}))+z^{2}x^{2}(x+y)^{2}+2zx^{4}y+x^{4}(x^{2}+y^{2})}{4(y^{3}+z^{3})(x^{3}+y^{3})(z^{3}+x^{3})}\geq 0$

$(Q.E.D)$

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3} \ge \frac{a+b+c}{2}$$

 

$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+\frac{a^4c^3}{a^3+b^3}+\frac{b^4a^3}{b^3+c^3}+\frac{c^4b^3}{c^3+a^3}\ge \frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{2}$$

 

$$\frac{a^4c^3}{a^3+b^3}+\frac{b^4a^3}{b^3+c^3}+\frac{c^4b^3}{c^3+a^3}$$

 

$$\ge \frac{(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2)^2}{c(a^3+b^3)+a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)}$$

 

$$\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-\frac{a(b^3+c^3)+b(c^3+a^3)+c(a^3+b^3)}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3a(b^3+c^3)+3b(c^3+a^3)+3c(a^3+b^3)$$

 

$$(a^2-ab+b^2)(a-b)^2+(b^2-bc+c^2)(b-c)^2+(c^2-ca+a^2)(c-a)^2 \ge 0 $$

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{\,5}}{a^{\,4}\,+\, b^{\,4}}\,+ \,\frac{b^{\,5}}{b^{\,4}\,+ \,c^{\,4}}\,+ \,\frac{c^{\,5}}{c^{\,4}\,+\, a^{\,4}}\,\geq \, \frac{a\,+\, b\,+\, c}{2}$$