Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:                                        $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$

[PugMath]

Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:                                        $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$

SOLUTION BY TRẦN THẮNG

[KietLW9]

Cho: $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:                                        $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}+7}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}+7}{(c+a)^{2}}\geq 6$

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{a^{2}b^{2}+7}{(a+b)^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}+1+2(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)^{2}}\geqslant \frac{2ab+2(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^2+(a^2+b^2+2c^2)}{(a+b)^{2}}$

Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{a^2+b^2+2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{(c+a)^2}\geqslant 3$

Mặt khác theo $\text{AM-GM}$: $\frac{a^2+b^2+2c^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{(c+a)^2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2+2c^2)(b^2+c^2+2a^2)(c^2+a^2+2b^2)}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}}$

Ta cần chỉ ra rằng: $(a^2+b^2+2c^2)(b^2+c^2+2a^2)(c^2+a^2+2b^2)\geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$

Thật vậy, ta có: $(a+b)^2(b+c)^2\leqslant 4(a^2+b^2)(b^2+c^2)\leqslant (a^2+2b^2+c^2)^2$

Một cách tương tự rồi nhân theo vế ta sẽ có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 13:57