Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Chứng minh rằng nếu $0<b<a\leq 2$ và $2ab\leq 2b+a$ thì $a^{2}+b^{2}\leq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 01-04-2018 - 10:12

[12345678987654321123456789]

Ta chọn $x$ sao cho $1,5<x<\sqrt{\frac52}$

Xét các trường hợp:

$a<x\Leftrightarrow 0<b<a<x<2\implies a^2+b^2<2x^2<2\left(\sqrt\frac52\right)^2=5$

$a\geq x>1,5$

Ta có  $2ab\leq 2b+a\Leftrightarrow 2b(a-1)\leq a\Leftrightarrow b\leq \frac{a}{2(a-1)}$

$$\implies a^2+b^2-5\leq a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}-5=A$$

Ta đi chứng minh $A\leq0$

$$\implies a^2\cdot 4(a-1)^2+a^2-20(a-1)^2\leq0=\Leftrightarrow 4a^4-8a^3-15a^2+40a-20\leq0\Leftrightarrow (4a^3-15a+10)(a-2)\leq0$$

Vì $a-2\leq0$ nên ta chỉ cần chứng minh $4a^3-15a+10>0$

Mà $4a^3-15a+10=a(2a-3)^2+12(a-1)^2-2>1,5\cdot(2\cdot1,5-3)^2+12\cdot(1,5-1)^2-2=1>0$

Nên ta có đpcm

[hoangkimca2k2]

Ta chọn $x$ sao cho $1,5<x<\sqrt{\frac52}$

Xét các trường hợp:

$a<x\Leftrightarrow 0<b<a<x<2\implies a^2+b^2<2x^2<2\left(\sqrt\frac52\right)^2=5$

$a\geq x>1,5$

Ta có  $2ab\leq 2b+a\Leftrightarrow 2b(a-1)\leq a\Leftrightarrow b\leq \frac{a}{2(a-1)}$

$$\implies a^2+b^2-5\leq a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}-5=A$$

Ta đi chứng minh $A\leq0$

$$\implies a^2\cdot 4(a-1)^2+a^2-20(a-1)^2\leq0=\Leftrightarrow 4a^4-8a^3-15a^2+40a-20\leq0\Leftrightarrow (4a^3-15a+10)(a-2)\leq0$$

Vì $a-2\leq0$ nên ta chỉ cần chứng minh $4a^3-15a+10>0$

Mà $4a^3-15a+10=a(2a-3)^2+12(a-1)^2-2>1,5\cdot(2\cdot1,5-3)^2+12\cdot(1,5-1)^2-2=1>0$

Nên ta có đpcm

cảm ơn về bài viết của bạn