Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $(\sum a^{3}b)(\sum a)\geq 3abc(\sum a^{2})$

[tr2512]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $(\sum a^{3}b)(\sum a)\geq 3abc(\sum a^{2})$

$\left( {{a^3}b + {b^3}c + {c^3}a} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3{\rm{a}}bc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức C-S và bất đẳng thức $3\left( {{b^2}a + {c^2}b + {a^2}c} \right) \le \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ có

$\frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{b^2}a + {c^2}b + {a^2}c}} \ge \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{a + b + c}}$ 

Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 13-04-2018 - 17:55

[hoangkimca2k2]

$\left( {{a^3}b + {b^3}c + {c^3}a} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3{\rm{a}}bc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức C-S và bất đẳng thức $3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) \le \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ có

$\frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} \ge \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{a + b + c}}$ 

Hoàn tất chứng minh.

Cái này hình như sai r

[tr2512]

Cái này hình như sai r

Làm gì có 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

Áp dụng AM-GM

${a^3} + a{b^2} \ge 2{{\rm{a}}^2}b\\ {b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c\\ {c^3} + c{a^2} \ge 2{\rm{a}}{c^2}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 13-04-2018 - 14:25

[hoangkimca2k2]

Làm gì có 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

Áp dụng AM-GM

${a^3} + a{b^2} \ge 2{{\rm{a}}^2}b\\ {b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c\\ {c^3} + c{a^2} \ge 2{\rm{a}}{c^2}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)$

ko ý tôi là cái dưới chứ k phải cái này

[tr2512]

ko ý tôi là cái dưới chứ k phải cái này

à, hình như mình nhầm lẫn giữa hai bộ ${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a$ và $a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}$, xin lỗi 

Tuy nhiên lời giải mình sửa lại đoạn đó vẫn chính xác mà

[hoangkimca2k2]

à, hình như mình nhầm lẫn giữa hai bộ ${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a$ và $a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}$, xin lỗi 

Tuy nhiên lời giải mình sửa lại đoạn đó vẫn chính xác mà

ukm đúng rồi bạn