318 replies to this topic

[Khoa Linh]

105. Cho $a\,,b\,\,> 0$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{2 + a + b} + \frac{a}{2a + b + 1} + \frac{b}{2b + a + 1} \,\, \leqq \frac{3}{4}$

Anh viet9a14124869 lời giải bài này đâu cần phức tạp quá vậy ạ... 

Ta có:

$\frac{4}{a+b+2}+\frac{4a}{2a+b+1}+\frac{4b}{2b+a+1}=\frac{4}{(a+1)+(b+1)}+\frac{4a}{(a+b)+(a+1)}+\frac{4b}{(a+b)+b+1}\leq \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}=3$

[viet9a14124869]

Anh viet9a14124869 lời giải bài này đâu cần phức tạp quá vậy ạ... 

Ta có:

$\frac{4}{a+b+2}+\frac{4a}{2a+b+1}+\frac{4b}{2b+a+1}=\frac{4}{(a+1)+(b+1)}+\frac{4a}{(a+b)+(a+1)}+\frac{4b}{(a+b)+b+1}\leq \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}=3$

Anh quên mất ^^ đi ngủ mới nghĩ ra cái này     .....

[xuanhoan23112002]

Bài 106: Cho a₁, a₂,...,a₁₉ là các số tự nhiên thỏa mãn: a₁+a₂+...+a₁₉ =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=a₁²+a₂²+...+a₁₉²

[tr2512]

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1996)

Edited by tr2512, 29-04-2018 - 16:17.

[viet9a14124869]

Bài toán số 108 : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . Với q=ab+bc+ca , chứng minh rằng : 

$$\frac{a}{(1-a)^2}+\frac{b}{(1-b)^2}+\frac{c}{(1-c)^2}\geq \frac{1}{2q(1-q)}$$

                                                                                                                                                              ____ Nguyễn Đức Việt ____

 

P/S : Yếu quá ....

Edited by viet9a14124869, 29-04-2018 - 08:50.

[yeutoan89]

Bài 109: cho x,y là các số thực dương. Tìm Min của

$\fn_phv \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )\sqrt{2.(x^{2})+y^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi nào

mọi người giải giúp nhé. mÌnh sửa rồi mà ko xóa được \fnp

h

v

Edited by yeutoan89, 29-04-2018 - 14:50.

[yeutoan89]

Bài 109: cho x,y là các số thực dương. Tìm MIn

$\fn_phv \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}).{\sqrt{2.(x^{2}+y^{2})}}$

dấu "=" xảy ra khi nào

Edited by yeutoan89, 29-04-2018 - 14:43.

[DOTOANNANG]

105. Cho $a\,,b\,\,> 0$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{2 + a + b} + \frac{a}{2\,a + b + 1} + \frac{b}{2\,b + a + 1} \,\, \leqq \frac{3}{4}$

 

Đẳng thức có khi: $a= b= 1$

 

Do vậy, ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

 

$\frac{1}{2 + a + b} -\frac{1}{2}+ \frac{a}{2\,a + b + 1}-\frac{1}{2} + \frac{b}{2\,b + a + 1} -\frac{1}{2}\leqq \frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

 

hay:

 

$\frac{a+b}{2 + a + b} + \frac{b+1}{2\,a + b + 1} + \frac{a+1}{2\,b + a + 1} \geqq \frac{3}{2}$

 

Ta có:

 

$\frac{a+b}{2 + a + b} + \frac{b+1}{2\,a + b + 1} + \frac{a+1}{2\,b + a + 1}=$

 

$=\frac{(a+b)^2}{(a+b)\,(2 + a + b)} + \frac{(b+1)^2}{(b+1)\,(2\,a + b + 1)} + \frac{(a+1)^2}{(a+1)\,(2\,b + a + 1)}\geqq$

 

$\geqq\frac{(a+b+a+1+b+1)^2}{(a+b)\,(2 + a + b)+(b+1)\,(2\,a + b + 1)+(a+1)\,(2\,b + a + 1)}=$

 

$=\frac{2\,(a+b+1)^2}{a^2+b^2+3\,ab+3\,a+3\,b+1}$

 

Việc đơn giản là chứng minh:

 

$\frac{2\,(a+b+1)^2}{a^2+b^2+3\,ab+3\,a+3\,b+1}\geqq\frac{3}{2}$

 

hay:

 

$a^2+b^2+1-ab-a-b\geqq0$

 

hay:

 

$\Delta _{a}= -3\,(b- 1)^{2}\leqq 0$

 

Ai cũng biết điều này đúng!

[viet9a14124869]

Bạn yeutoan89 sửa lại bài đi nhé, gõ tex có vấn đề , với lại bạn quên chưa đánh số thứ tự bài kìa 

 

Bài toán số 110 : Giả sử rằng a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . Chứng minh rằng : 

$$\sqrt[3]{\frac{1}{a}-4b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}-4c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}-4a}\leq \sqrt[3]{\frac{5}{3}} .(\frac{1}{15abc}+\frac{6}{5})$$ 

 

P/S : Sửa đề rồi nha ai vô chém thử đi .....

                                                                                                                                               ____ Nguyễn Đức Việt____

Edited by viet9a14124869, 29-04-2018 - 20:44.

[Khoa Linh]

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1992)

Theo Dirichlet ta giả sử $(3b-1)(3c-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2+c^2\leq \frac{1}{9}+\left ( b+c-\frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2$

Ta có BĐT tương đương với: 

$\frac{a}{a^2+1}\leq \left ( \frac{1}{2}-\frac{b}{b^2+1} \right )+\left (\frac{1}{2}-\frac{c}{c^2+1} \right )-\frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2a}{a^2+1}$

Mặt khác theo Cauchy - Schwarz ta có:

$\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq\frac{(b+c-2)^2}{b^2+c^2+2}=\frac{(1+a)^2}{(b^2+c^2)+2}\geq \frac{(1+a)^2}{\frac{1}{9}+2+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2}=\frac{9(a+1)^2}{23-12a+9a^2}$

Vây ta đưa BĐT về BĐT 1 biến: 

$\frac{9(1+a)^2}{23-12a+9a^2}\geq \frac{a^2+10a+1}{5(1+a^2)}\Leftrightarrow (3a-1)^2(2a^2+2a+11)\geq 0$

Vậy ta có đpcm

p/s: Anh tr2512 xem lại hộ em nguồn bài toán bởi vì em làm 1 lần rồi và nó ghi là 1996 chứ không phải 1992. Em cảm ơn ...

[tr2512]

Bài toán số 108 : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . Với q=ab+bc+ca , chứng minh rằng : 

$$\frac{a}{(1-a)^2}+\frac{b}{(1-b)^2}+\frac{c}{(1-c)^2}\geq \frac{1}{2q(1-q)}$$

                                                                                                                                                              ____ Nguyễn Đức Việt ____

 

P/S : Yếu quá ....

Đúng là yếu thật

$\frac{a}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{2q\left( {1 - q} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{2q\left( {1 - q} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{2q\left( {1 - q} \right)}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{2q\left( {1 - q} \right)}}$

Áp dụng bất đẳng thức C-S:

$\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{3}{\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)^2} \ge \frac{1}{3}\left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca}}} \right]^2 = \frac{1}{{12{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} = \frac{1}{{12{q^2}}}\\ \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca}} = \frac{1}{{2q}}$

Vậy ta cần chứng minh:

$\frac{1}{{12{q^2}}} + \frac{1}{{2q}} \ge \frac{1}{{2q\left( {1 - q} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - 3q} \right)\left( {2q + 1} \right)}}{{12{q^2}\left( {1 - q} \right)}} \ge 0$ (Luôn đúng do $ q \le \frac{1}{3}$(AM-GM))

Hoàn tất chứng minh.

 

P/s: Cho ai hứng thú, nếu quy đồng vế trái trực tiếp rồi chuyển về hàm $f(abc, ab+bc+ca)$ thì nó là hàm đồng biến theo $abc$ luôn , từ đó có thể làm mạnh hơn   

Edited by tr2512, 29-04-2018 - 17:02.

[Diepnguyencva]

Bài 111 Cho a,b,c>0 thỏa mãn abcd=1. Chứng minh:
$\sum \frac{1+a}{1+a^{2}}\leq 4$

Edited by MoMo123, 01-05-2018 - 16:31.

[phamhuy1801]

Bài 103: Cho a,b,c không âm

Cmr: $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2}\geq 2(ab+bc+ac)$

P/s: TT2 là gì vậy. Có phải là Toán Học Tuổi Trẻ ko ?

 

$a+b+c \ge 3 \sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(abc)^2} \ge \frac{9abc}{a+b+c}$

Do đó chỉ cần chỉ ra $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \ge 2(ab+bc+ca)$, đây là một dạng tương đương của Schur bậc $3$.

 

Bài $111$: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}-\frac{1}{2} \ge \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{a}{a^2+a+1}+\frac{b}{b^2+b+1}+\frac{c}{c^2+c+1}$

[MoMo123]

Theo Dirichlet ta giả sử $(3b-1)(3c-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2+c^2\leq \frac{1}{9}+\left ( b+c-\frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2$
Ta có BĐT tương đương với: 
$\frac{a}{a^2+1}\leq \left ( \frac{1}{2}-\frac{b}{b^2+1} \right )+\left (\frac{1}{2}-\frac{c}{c^2+1} \right )-\frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2a}{a^2+1}$
Mặt khác theo Cauchy - Schwarz ta có:
$\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq\frac{(b+c-2)^2}{b^2+c^2+2}=\frac{(1+a)^2}{(b^2+c^2)+2}\geq \frac{(1+a)^2}{\frac{1}{9}+2+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2}=\frac{9(a+1)^2}{23-12a+9a^2}$
Vây ta đưa BĐT về BĐT 1 biến: 
$\frac{9(1+a)^2}{23-12a+9a^2}\geq \frac{a^2+10a+1}{5(1+a^2)}\Leftrightarrow (3a-1)^2(2a^2+2a+11)\geq 0$
Vậy ta có đpcm
p/s: Anh tr2512 xem lại hộ em nguồn bài toán bởi vì em làm 1 lần rồi và nó ghi là 1996 chứ không phải 1992. Em cảm ơn ...

Bài này còn có một cách khác:
Ta chứng minh $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18a}{25}+\frac{3}{50}$
$\Leftrightarrow (3a-1)^2(4a+3) \geq 0$ (đúng )
Tương tự với b,c cộng các bđt lại ta được đpcm

[DinhXuanHung CQB]

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1996)

Giả sử $c\geq b\geq a$ xét nếu $4a+3\geq 0$ thì

$\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10}-\frac{12(3a-1)}{50}=\frac{(3-a)(3a-1)}{10(a^2+1)}=\frac{-3(3a-1)^2(4a+3)}{50(a^2+1)}\leq 0$

=>$\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{3}{10}+\frac{12(3a-1)}{50}$

từ $a\leq \frac{-3}{4}$ để ý nếu $b\leq 0$ thì $VT\leq \frac{c}{c^2+1}\leq \frac{1}{2}<\frac{9}{10}$

BDT tương đương $\sum \frac{2a}{a^2+1}\leq \frac{9}{5}$ <=> $\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{2a}{a^2+1}+\frac{1}{5}$

Áp dụng $C-S$ $\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{(b+c-2)^2}{(b+c)^2+2}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2+2}\geq \frac{(a-1)^2}{4(a^2+1}$

mà $\frac{(a-1)^2}{4(a^2+1}-\frac{2a}{a^2+1}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}-\frac{5a}{2(a^2+1}>0$ có dpcm

Edited by DinhXuanHung CQB, 01-05-2018 - 20:59.

[DinhXuanHung CQB]

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1996)

Có thể sử dụng $Dirichlet$ để đưa về BDT cuối cùng

$\frac{9(a+1)^2}{9a^2-12a+23}-\frac{2a}{a^2+1}-\frac{1}{5}=\frac{2(3a-1)^2(2a^2+2a+11)}{5(a^2+1)(9a^2-12a+23}\geq 0$

Edited by DinhXuanHung CQB, 01-05-2018 - 21:03.

[MoMo123]

Em cũng nghĩ như vây, mấy ngày nay online được ít, vào thấy mọi người giải bài hăng say nên rất vui nhưng nhìn lại thì thấy có những bài rất quá sức, đây chỉ mới là bắt đầu, nên đi từ dễ đến khó. Mình xin đề xuất một vài bài

$\boxed{\text{Bài 94}}$: Cho m,n,p >0 Chứng minh rằng:     $ \sum \frac{1}{m^3+1} \geq \frac{3}{mnp+1}$

$\boxed{\text{Bài 95}}$ $ Cho x,y,z \neq 0 , xyz=1$. Chứng minh rằng

$P=\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$

$\boxed{\text{Bài 96}}$ Cho $a,b,c>0$. Chứng minh 

$ (\frac{a}{a+2b})^2+(\frac{b}{b+4c})^2+(\frac{c}{c+8a})^2 \geq \frac{3}{25}$

I'm back

$\boxed{\text{Bài 95}}$ Đặt ($x,y,z)=(\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ac},\frac{c^2}{ab})$

Bất đẳng thức $\Leftrightarrow $ 

$P= \frac{a^4}{(a^2-bc)^2}+\frac{b^4}{(b^2-ac)^2}+\frac{c^4}{(c^2-ab)^2} \geq 1$

Áp dụng $Cauchy Schwarzt, ta có 

$P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2-bc)^2+(b^2-ac)^2+(c^2-ab)^2} \geq 1$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2 \geq 0$(đúng )

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab+bc+ca =0$

$\boxed{\text{Bài 96}} $

Đặt  $b=2x; c=2y ; a=z$ Ta có BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow $

$ P= \frac{z^2}{(z+4x)^2}+\frac{x^2}{(x+4y)^2}+\frac{y^2}{(y+4z)^2} \geq \frac{3}{25}$

Ta có:$ \frac{z^2}{(z+4x)^2}+\frac{1}{25} \geq \frac{2z}{5(z+4x)}$

Tương tự $\Rightarrow P \geq \frac{2}{5}\sum\frac{z}{z+4x} \geq \frac{2}{5}\frac{(\sum z)^2}{\sum x^2+4\sum xy} \geq \frac{3}{25}$(đpcm)

Edited by MoMo123, 01-05-2018 - 21:10.

[quynhanhlh7]

Bài 112 : Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$ + $\frac{3}{c} = 3$ 

Chứng minh rằng: $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}$ + $\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}$ + $\frac{8c^{2}}{b(9b^{2} +4c^{2})} \geq \frac{3}{2}$

[minhhuy14022003]

Bài 112 : Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$ + $\frac{3}{c} = 3$ 

Chứng minh rằng: $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}$ + $\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}$ + $\frac{8c^{2}}{b(9b^{2} +4c^{2})} \geq \frac{3}{2}$

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}$ ta có bđt tương đương với $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 lại có $\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq x-\frac{xy^{2}}{2xy}=x-\frac{y}{2}$

tương tụ với 2 cái còn lại rồi cộng vào ta được điều phải chứng minh bạn nhé

 

 P/S: ngẫm cả topic làm dc mỗi bài này !tự thấy kém BĐT quá!

[MoMo123]

Khuấy đảo lại TOPIC nào: 

$\boxed{\text{Bài 113}}:$ Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$ M=(a+b)(\frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{b^3+a})-\frac{1}{ab}$

$\boxed{\text{Bài 114}}$ Cho các số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=3 $

Tìm Max của biểu thức

$ P=\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}$

$\boxed{\text{Bài 115}}$:

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện$\left\{\begin{matrix}a\leq b\leq c & & \\ ab+bc+ca=3 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $ab^2c^3<4$

$\boxed{\text{Bài 116}}$ Cho $x+y+z=12$

Chứng minh rằng:

$(x^2-4x+16)(y^2-4y+16)(z^2-4z+16) \geq 4096$

$\boxed{Bài 117}$ Cho $x,y,z $ là các số thực thuộc đoạn $[0;1]$ Chứng minh 

$\sum \frac{x}{\sqrt[3]{y^3+1}} \leq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz+1}}$

$\boxed{Bài 118}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=abc=4$

Chứng minh rằng  $ a+b+c \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$