Chủ đề này có 318 trả lời

[DOTOANNANG]

Bài 79: Cho $a, \,b, \,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$$(a^2-a+1)\,(b^2-b+1)\,(c^2-c+1)\geqq \,1$$

 

Đặt $p\,,\,s=abc\,,\, ab+ bc+ ca$. 

 

Và khi đó:

 

$VT= p^{2}+ s^{2}- ps- 4\,s- p+ 7$

 

Ta sẽ viết lại bất đẳng thức:

 

$(2+ p- s)^{2}+ 2\,(1- p)\geqq p\,(3-s)$

 

Bây giờ, để ý thấy:

 

$9\,p= 3\,abc\,(a+ b+ c)\leqq (ab+ bc+ ca)^{2}= s^{2}$

 

hay:

 

$9\,(1-p)= (3+s)\,(3-s)$

 

Đưa chúng ta đến chứng minh bất đẳng thức:

 

$(2+ p- s)^{2}+ \frac{6+ 2\,s- 9\,p}{9}\,(3-s)\geqq 0$

 

Giả sử rằng $9\,p>6$ hay $p> \frac{2}{3}$

 

Theo bất đẳng thức trung bình cộng & trung bình nhân, ta có:

 

$s\geqq3\sqrt[3]{p^{2}}> \sqrt[3]{12}> 2$

 

hay:

 

$6+ 2\,s> 10> 9\,p$

 

Và điều này dẫn tới vế trái không âm.

 

Cũng làm tương tự với trường hợp còn lại.

 

Kết luận: Vế trái bằng không xảy ra khi và chỉ khi: $s= 3$ và $p= s- 2= 1$

 

Nói theo một cách khác là $a= b= c= 1$ để dấu bằng xảy ra.

[DOTOANNANG]

Bài 89. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

$$(a^{2}- a+ 1)\,(b^{2}-b + 1)\,(c^{2}- c+ 1)\leqq 7$$

[DOTOANNANG]

Bài 90. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số dương thỏa $a+ b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

                                               1. $\prod_{cyc}^{ }(b^{2}- bc+ c^{2})\leqq 12$ (Algebraic Old & New inequalities)

 

                                               2. $\prod_{cyc}^{ }(b^{2}- bc+ c^{2})\geqq abc$ (leviethai)

 

 

[Korkot]

Bài 86: cho x,y,z,p,q,r thỏa x+y+z=p+q+r=1 và $pqr \leq \frac{1}{2}$
CMR $px+qy+rz \geq 8xyz$

Không ai giải hết

KMTTQ giả sử $x \leq y \leq z$

 $r.z = z.(\frac{1}{2} -p) + z.(\frac{1}{2} -q) \geq x.(\frac{1}{2} -p) + y.(\frac{1}{2} -q) $$= \frac{x+y}{2} -(px+qy)$

=> $px + qy +rz \geq \frac{x+y}{2}$

Vậy ta cần cm $x+y \geq 16xyz$

Ta có $1=(x+y+z)^2 \geq 4(x+y)z$

=> $x+y \geq 4(x+y)^{2}z \geq 16xyz$

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 25-04-2018 - 19:43

[Khoa Linh]

Bài 90. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số dương thỏa $a+ b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

                                               1. $\prod_{cyc}^{ }(b^{2}- bc+ c^{2})\leqq 12$ (Algebraic Old & New inequalities)

Giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$ suy ra 

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq (a^2-ab+b^2)b^2a^2=\frac{4}{9}.\frac{3}{2}ab.\frac{3}{2}ab.(a^2-ab+b^2)\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b)^6}{27}\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b+c)^6}{27}=12$

Dấu bằng khi a=2, b=1, c=0 và các hoán vị. (Phạm Kim Hùng)

[DinhXuanHung CQB]

Mong các bạn đăng bài sẽ để ý đến tên TOPIC là dành cho $2003$, mình thấy có 1 số bài hơi quá sức

[tr2512]

Bài 91:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$$ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{a+3}} \ge \frac{3}{2} \text{   (Vasile Cirtoaje)} $$

[MarkGot7]

Bài 92: Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c> 0$ . C/m:

      $\frac{a}{b^{2}c+1}+\frac{b}{c^{2}a+1}+\frac{c}{a^{2}b+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkGot7: 25-04-2018 - 21:49

[HelpMeImDying]

Bài 92: Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c> 0$ . C/m:

      $B=\frac{a}{b^{2}c+1}+\frac{b}{c^{2}a+1}+\frac{c}{a^{2}b+1}\geq 2$

$\sum \frac{a}{bc^{2}+1} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{abc(a+b+c)+a+b+c}= \frac{9}{3abc+3}\geq \frac{9}{3(\frac{a+b+c}{3})^{3}+3}= \frac{9}{3+3}= \frac{3}{2}$

[tr2512]

Bài 93:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 $

Chứng minh: 

$$ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z} $$ (Sưu tầm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 25-04-2018 - 22:02

[MoMo123]

Mong các bạn đăng bài sẽ để ý đến tên TOPIC là dành cho $2003$, mình thấy có 1 số bài hơi quá sức

Em cũng nghĩ như vây, mấy ngày nay online được ít, vào thấy mọi người giải bài hăng say nên rất vui nhưng nhìn lại thì thấy có những bài rất quá sức, đây chỉ mới là bắt đầu, nên đi từ dễ đến khó. Mình xin đề xuất một vài bài

$\boxed{\text{Bài 94}}$: Cho m,n,p >0 Chứng minh rằng:     $ \sum \frac{1}{m^3+1} \geq \frac{3}{mnp+1}$

$\boxed{\text{Bài 95}}$ $ Cho x,y,z \neq 0 , xyz=1$. Chứng minh rằng

$P=\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$

$\boxed{\text{Bài 96}}$ Cho $a,b,c>0$. Chứng minh 

$ (\frac{a}{a+2b})^2+(\frac{b}{b+4c})^2+(\frac{c}{c+8a})^2 \geq \frac{3}{25}$

[viet9a14124869]

 

Bài 91:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$$ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{a+3}} \ge \frac{3}{2} \text{   (Vasile Cirtoaje)} $$

 

Bài này mình có nghĩ đến một cách làm sau :

Trước tiên ta có một bổ đề : Với a,b,c thực không âm , ta có $3(a^2b+b^2c+c^2a) \leq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ (*)

Chứng minh : Bất đẳng thức (*) tương đương với $a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 0$ ( luôn đúng ) 

Quay lại bài toán , áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt : 

LHS=$\frac{a}{\sqrt{a(b+3)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+3)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+3)}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sum \sqrt{a(b+3)}}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{(\sum \sqrt{a}).[\sum (b+3)\sqrt{a}]}}\geq \frac{((\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2)}{\sqrt{(\sum \sqrt{a}).[3\sum \sqrt{a}+\frac{1}{3}(\sum \sqrt{a}).\sum a]}}=\frac{(\sum \sqrt{a})}{\sqrt{3+\frac{a+b+c}{3}}}$

Do đó ta cần chứng minh :$\frac{\sum \sqrt{a}}{\sqrt{3+\frac{a+b+c}{3}}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c+8(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq 27$

Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức Cauchy với điều kiện abc=1 .

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 .

 

P/S 01: Theo mình thì kỹ năng trình bày cũng rất quan trọng , nên cũng mong các bạn đăng bài giải có thể chia sẻ , phô diễn nó cho các bạn khác học tập theo   ... 

 

P/S 02 : Mình nhận ra bài này cũng có thể đổi biến rồi dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ,cũng là một cách rất ngắn gọn và đẹp =)) ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 25-04-2018 - 22:09

[Khoa Linh]

 

Bài 93:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 $

Chứng minh: 

$$ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z} $$ (Sưu tầm)

 

Theo Cauchy - Schwarz ta có:

$\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \right )^2=\left (\sum \sqrt{x}.\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} \right )^2$

$\leq (x+y+z)\left ( \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} \right )=(x+y+z)\left ( 3-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=x+y+z$

Suy ra đpcm 

[PhanThai0301]

 

Bài 93:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 $

Chứng minh: 

$$ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z} $$ (Sưu tầm)

 

    Từ GT=> $\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$.

    Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

       $x+y+z=(x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^{2}$.

       => $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 25-04-2018 - 22:41

[DOTOANNANG]

Bài 88. Cho $abc\,\geqq 1$. Chứng minh rằng: $(a+ \frac{3}{a+ 5})+ (b+ \frac{3}{b+ 5})+ (c+ \frac{3}{c+ 5})\geqq (\frac{3}{2})^{3}$

 

Ta sẽ có một cách chứng minh khá độc đáo như sau:

 

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân ta được:

 

$\frac{a+ 5}{12}+ \frac{3}{a+ 5}\geqq 1$

 

Do đó:

 

$a+ \frac{3}{a+ 5}\geqq 1- \frac{a+ 5}{2}+ a= \frac{11a+ 7}{12}$

 

$= \frac{1}{12}(a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ a+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1)$

 

$\geqq \frac{1}{12}\cdot\,18\sqrt[18]{a^{11}}= \frac{3}{2}\,\sqrt[18]{a^{11}}$

 

Làm điều tương tự, cuối cùng ta được bất đẳng thức cần chứng minh:

 

$\prod_{cyc}^{ }(a+ \frac{3}{a+ 5})\geqq (\frac{3}{2})^{3}\cdot\,\sqrt[18]{(abc)^{11}}\geqq (\frac{3}{2})^{3}$

[DOTOANNANG]

Bài 90. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số dương thỏa $a+ b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

$abc\leqq (b^{2}- bc+ c^{2})\,(c^{2}- ca+ a^{2})\,(a^{2}- ab+ b^{2})\leqq 12$                                              

 

Trước tiên ta có nhận xét:

 

$x^{2}- xy+ y^{2}\geqq \frac{(x+ y)^{2}}{4}$

 

$(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)\geqq \frac{8}{9}\,(a+ b+ c)\,(ab+ bc+ ca)$

 

Khi đó:

 

$\prod_{cyc}^{ }(a^{2}- ab+ b^{2})\geqq \frac{[(a+ b)(b+ c)(c+ a)]^{2}}{64}\geqq \frac{3\,abc\,(a+ b+ c)^{3}}{81}= abc$

 

Và để chứng minh bất đẳng thức còn lại, ta giả sử $a\geqq b\geqq c\geqq 0$

 

Khi đó:

 

$(b^{2}- bc+ c^{2})\,(c^{2}- ca+ a^{2})\,(a^{2}- ab+ b^{2})$

 

$\leqq b^{2}a^{2}\,(a^{2}- ab+ b^{2})= (ab)^{2}\,[(a+ b)^{2}- 3\,ab]$

 

$\leqq (ab)^{2}\,[(a+ b+ c)^{2}- 3ab]= \frac{3}{2}\,(ab)\,(ab)\,(6- 2ab)$

 

$\leqq \frac{3}{2}(\frac{ab+ ab+ 6- 2\,ab}{3})^{3}= 12$

 

OKAY!

[DOTOANNANG]

Bài 89. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

$$(a^{2}- a+ 1)\,(b^{2}-b + 1)\,(c^{2}- c+ 1)\leqq 7$$

 

Đặt $p\,,\,s=abc\,,\, ab+ bc+ ca$. 

 

Và khi đó:

 

$VT= p^{2}+ s^{2}- ps- 4\,s- p+ 7$

 

Ta sẽ viết lại bất đẳng thức:

 

$p\,(1- p)+ s\,(3- s)+ s+ ps\geqq 0$

 

Rất đơn giản, điều này hiển nhiên đúng với $s\,,ps\,,p\,(1-p)\,,s\,(3-s)$ không âm.

 

Đẳng thức xảy ra khi $s= 0\,,p= 0$ hay có hai trong ba số $a\,,\,b\,,\,c$ bằng $0$

 

 

 

[Korkot]

Mình xin đưa một bài bđt có áp dụng các tính chất đồ thị (của lớp 9):

Bài 97: Mặt phẳng xOy có 3 điểm A,B,C phân biệt với OA=OB=OC=1 và x_a²+x_b²+x_c²+6x_ax_bx_c=0. CMR Min{x_a,x_b,x_c} $\leq \frac{-1}{3}$

P\s Các anh chị cấp 3 xin post bài nào nhẹ nhẹ chút, đừng làm khó đàn em khờ dại  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 26-04-2018 - 21:41

[hoangkimca2k2]

Bài 98: Cho $a,b,c>0$ và $abc=2$. Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

[hoangkimca2k2]

Bài 99: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sqrt[4]{a^{4}+b^{4}}+\sqrt[4]{b^{4}+c^{4}}+\sqrt[4]{c^{4}+a^{4}}\geq \sqrt[4]{2}(a+b+c)$