Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhnhan155]

Cho a,b > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 2$

Chứng minh a+b $\geq$ 2

[buingoctu]

Cho a,b > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 2$

Chứng minh a+b $\geq$ 2

C1: Có $2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}$ => $ab\geq 1$

Lại có $(a+b)^2\geq 4ab\geq 4=> a+b\geq 2$

C2: $2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab)^2}\geq \frac{(a+b)^2}{2(\frac{(a+b)^2}{4})^2}$ =>$(a+b)^2\geq 4$..

Dấu "=" <=> a=b=1.

[DOTOANNANG]

$$a\,+ \,b\,\geq \, a^{\,\frac{3}{4}}\,b^{\,\frac{1}{4}}\,+ \,b^{\,\frac{3}{4}}\,a^{\,\frac{1}{4}}\,=\, a^{\,\frac{3}{4}}\,b^{\,\frac{3}{4}}\,(\,a^{\,-\,\frac{1}{2}}\,+ \,b^{\,-\,\frac{1}{2}}\,)\,\geq\, 1\,.\,2\,=\,2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-04-2018 - 07:55

[conankun]

C1: Có $2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}$ => $ab\geq 1$

Lại có $(a+b)^2\geq 4ab\geq 4=> a+b\geq 2$

C2: $2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab)^2}\geq \frac{(a+b)^2}{2(\frac{(a+b)^2}{4})^2}$ =>$(a+b)^2\geq 4$..

Dấu "=" <=> a=b=1.

C3:  

Ta có: $2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq 2$

Lại có: $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 4\Rightarrow a+b\geq 2$.....