Cho $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ chia hết cho $10$. Chứng minh rằng $a^{3}-b^{3}$ chia hết cho $1000$
#1
Đã gửi 13-05-2018 - 00:33
#2
Đã gửi 13-05-2018 - 07:17
+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 2$
Nếu $a,b$ cùng lẻ thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.
Nếu trong hai số $a,b$ có một số lẻ, một số chẵn thì $a^{2}+ab+b^{2}$ lẻ.
+) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 10=>a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5$
$<=>5a^{2}-4a^{2}+5ab-4ab+b^{2}\vdots 5<=>4a^{2}+4ab-b^{2}\vdots 5<=>(2a+b)^{2}-2b^{2}\vdots 5$
$=>(2a+b)^{2}\equiv 2b^{2}$ (mod $5$)
- Nếu $a$ chia hết cho 5 thì $b$ chia hết cho 5. -
Nếu $a$ không chia hết cho 5:
Xét $b$ chia hết cho $5$ ( vô lý)
Xét $b$ không chia hết cho $5$.
$=>a,b\vdots 2=>a^{3}-b^{3}\vdots 8$
$b^{2}\equiv 1,4$ (mod $5$) $=>(2a+b)^{2}\equiv 2,3(mod5)$ vô lý do SCP chia $5$ dư $0,1,4$.
$=>a,b\vdots 5=>a^{3}-b^{3}\vdots 125=>a^{3}-b^{3}\vdots 1000$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 13-05-2018 - 08:00
- hoangkimca2k2, Lao Hac, Khoa Linh và 2 người khác yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Bắt đầu bởi Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh