For fun
Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR
$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$
$abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
$abc\geqslant (3-2c)(3-2a)(3-2b)<=>9abc\geqslant 27-18(a+b+c)+4(ab+bc+ac)=-27+12(ab+bc+ac)$
ta có $\frac{ab+bc+ac}{(a+b)(a+c)(b+c)}-\frac{9abc}{72(ab+bc+ac)}\leqslant \frac{ab+bc+ac}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}+\frac{27-12(ab+bc+ac)}{72(ab+bc+ac)}=\frac{9}{8.3}+\frac{27}{72(ab+bc+ac)}-\frac{12}{72}\geqslant \frac{3}{8}+\frac{27}{72.3}-\frac{12}{72}=\frac{1}{3}$
----
sr ngược dấu ☺
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 19-05-2018 - 10:59
Trương Văn Hào ☺☺ 超クール
Kawaiiii ☺
$abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
$abc\geqslant (3-2c)(3-2a)(3-2b)<=>9abc\geqslant 27-18(a+b+c)+4(ab+bc+ac)=-27+12(ab+bc+ac)$
ta có $\frac{ab+bc+ac}{(a+b)(a+c)(b+c)}-\frac{9abc}{72(ab+bc+ac)}\leqslant \frac{ab+bc+ac}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}+\frac{27-12(ab+bc+ac)}{72(ab+bc+ac)}=\frac{9}{8.3}+\frac{27}{72(ab+bc+ac)}-\frac{12}{72}\geqslant \frac{3}{8}+\frac{27}{72.3}-\frac{12}{72}=\frac{1}{3}$
----
sr ngược dấu ☺
Ngược dấu rồi
Cách làm của mình đây:
Ta có hằng đẳng thức sau:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
Sử dụng bđt AM-GM, ta được:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{8(ab+bc+ca)}{3}$ ( Do $a+b+c=3$)
$=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{8}$
Mặt khác:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)$ ( Do $a+b+c=3$)
$=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{1}{3}$
Ta có:
$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$
$<=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}+\frac{a+b+c}{8}\leq \frac{1}{3}+\frac{3}{8}$
$<=> \frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{17}{24}$
Đặt $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}=x$ $(\frac{1}{3}\leq x\leq \frac{3}{8})$
Bđt $<=> x+\frac{1}{8x}\leq \frac{17}{24}$
$<=> \frac{1}{3}\leq x\leq \frac{3}{8}$ ( Điều này luôn đúng)
Do đó bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi cả ba số bằng 1 hoặc có 1 số bằng 0.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh