cho x,y,z >1 tm x+y+z=xyz
tìm min T= $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$
cho x,y,z >1 tm x+y+z=xyz
tìm min T= $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$
Ta có
$T\doteq\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-\sum \frac{1}{x}$
$=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-\sum \frac{1}{x}$
$\geq \sum (x-1).\frac{2}{xz}-\sum \frac{1}{x}$
$=\sum \frac{1}{x}-2\sum \frac{1}{xz}\geq \sqrt[]{3\sum \frac{1}{xz}}-2\sum \frac{1}{xz}=\sqrt{3}-2$
dấu = xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VuQuyDat: 17-06-2018 - 23:04
Ta đặt $x,\,y,\,z= \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c}$, giả thiết đổi thành $ab+ bc+ ca= 1,\,a,\,b,\,c> 1$
Bài toán trở thành bài tương tự dưới đây: https://diendantoanh...um-fraca21-2bb/
Lấy $a= b= c= \frac{1}{\sqrt{3}}$ thì ta có $\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}= \sqrt{3} - 2$
Không mất tính tổng quát, giả sử $c= \min \left \{ a,\,b,\,c \right \}$. Ta cần chứng minh:
$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \frac{2\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )}{\sqrt{ab+ bc+ ca}}\geqq \left ( \sqrt{3}- 2 \right )\sqrt{ab+ bc+ ca}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{ab+ bc+ ca}\,\left (\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )} \right )\geqq 2\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab \right )$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{a}- a- b+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \frac{b^{2}}{a}- c+ a+ b+ c- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}\geqq 2\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right ) \right ]$$
$$\Leftrightarrow \frac{\left ( a- b \right )^{2}\left ( a+ b \right )}{ab}+ \frac{\left ( c- a \right )\left ( c^{2}- b^{2} \right )}{ac} + a+ b+ c- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}\geqq 2\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right ) \right ]$$
$$\Leftrightarrow \left ( a- b \right )^{2}\left ( \underbrace{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- 2}_{>0} \right )+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right )\left ( \underbrace{\frac{1}{a}+ \frac{b}{ac}- 2}_{\geqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{a}- 2>0} \right )+ \frac{\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{a+ b+ c+ \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}}\geqq 0$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 18-06-2018 - 07:54
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh