Các giá trị tham số m để phương trình $2m.sinx + (m-5).cosx + m - 7 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x\in \left ( \frac{\pi }{2}; \pi \right )$ là khoảng $(a;\frac{b}{c})$ với $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị $a+b+c$
Hi vọng mọi người có thể giúp em cách lớp 11 ạ.
Đặt $t=\tan\frac{x}{2}$. Vì $x\in\left ( \frac{\pi}{2};\pi \right )\Rightarrow t=\tan\frac{x}{2}> 1$.
Phương trình đã cho có thể viết $\frac{2m.2t}{1+t^2}+\frac{(m-5)(1-t^2)}{1+t^2}+7-m=0$
hay $f(t)=t^2-2mt-m+6=0$ $\left ( ^* \right )$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left ( \frac{\pi}{2};\pi \right )\Leftrightarrow$ phương trình $\left ( ^* \right )$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn $1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta '> 0\\f(1)> 0\\1< -\frac{-2m}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m^2+m-6> 0\\7-3m> 0\\1< m \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\left ( 2;\frac{7}{3} \right )$
Vậy $a+b+c=12$.