6 replies to this topic

[Explorer]

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm  nguyên dương:

$x^{4}-1=3y^{2}$

[nhancccp]

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm  nguyên dương:

$x^{4}-1=3y^{2}$

ĐK:$x>1,x<-1$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $y=\pm \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

Xét $y=- \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$ thì phương trình không có nghiệm nguyên dương 
Xét $y= \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

+)Xét $x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm 1,y=0$ (loại)

+)Xét $x^4-1 \neq 0$:vì $y \in Z$ mà $\sqrt{\frac{x^4-1}{3}} \notin Z$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương $(dpcm)$

Edited by nhancccp, 22-11-2023 - 14:56.

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm  nguyên dương:

$x^{4}-1=3y^{2}$

Bài này không hề tầm thường. Ljunggren đã chứng minh rằng phương trình $x^4-Dy^2=1$ có tối đa hai nghiệm, chứng minh của Cohn theo mình có thể hiểu kha khá dựa vào toán sơ cấp.

[dinhvu]

ĐK:$x>1,x<-1$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $y=\pm \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

Xét $y=- \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$ thì phương trình không có nghiệm nguyên dương 
Xét $y= \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

+)Xét $x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm 1,y=0$ (loại)

+)Xét $x^4-1 \neq 0$:vì $y \in Z$ mà $\sqrt{\frac{x^4-1}{3}} \notin Z$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương $(dpcm)$

chỗ này giải tiếp như thế nào bạn?

[MHN]

chỗ này giải tiếp như thế nào bạn?

Đến đó theo tôi thì $\sqrt{\frac{x^{4}-1}{3}}=p (p\in \mathbb{Z}^{+}) \Rightarrow x^{4}-1=3p^{2}$

Edited by minhhaiproh, 29-12-2023 - 11:38.

[MHN]

ĐK:$x>1,x<-1$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $y=\pm \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

Xét $y=- \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$ thì phương trình không có nghiệm nguyên dương 
Xét $y= \sqrt{\frac{x^4-1}{3}}$

+)Xét $x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm 1,y=0$ (loại)

+)Xét $x^4-1 \neq 0$:vì $y \in Z$ mà $\sqrt{\frac{x^4-1}{3}} \notin Z$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương $(dpcm)$

Sai ĐK không có số nào vừa lớn hơn 1 vừa bé hơn -1 cả

Edited by minhhaiproh, 28-12-2023 - 22:49.

[nhancccp]

Sai ĐK không có số nào vừa lớn hơn 1 vừa bé hơn -1 

chữ hoặc mà mình lúc ấy chưa biết bấm ngoặc vuông 
cảm ơn bạn