$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR
$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$
$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR
$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
$a,b,c\geq 0;a+b+c=4$ và không có số nào đồng thời bằng 0 ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR
$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2(ab+bc+ca)}}$
$LHS \geq \frac{1}{\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
Ta can chung minh : $\sqrt{2(ab+bc+ca)}\geq \sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}}$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq \left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}$
Ta lai co : $\left (\sum a\sqrt{b^{2}+c^{2}} \right )^{2}\leq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$
Hay la quy ve chung minh : $2(ab+bc+ca)\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum a.\left ( \sum ab^{2}+\sum ac^{2} \right )$
$\Leftrightarrow \sum ab^{3}+\sum a^{3}b\geq 2\sum a^{2}b^{2}$
Ma dieu nay luon dung => QED
Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có :
$\left ( \sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} \right )^{2}.\left [ \sum a \left ( b+c \right ) \right ] .\left ( \sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c} \right ) \geq \left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )^{4}=1$
Cần chứng minh : $\sum \frac{a\left ( b^{2}+c^{2} \right )}{b+c}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum a\left ( b+c \right )\leq 2abc\left ( \sum \frac{1}{b+c} \right ) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$Cauchy-Schwaz : 2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \frac{9abc}{a+b+c} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc.\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca) \left [ Schur \right ]$
$\Rightarrow Q.E.D$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh