Chủ đề này có 1 trả lời

[santo3vong]

Mình đi làm lâu quá không ôn bất đẳng thức, nay có người hỏi mà mình giải không ra, nhờ mọi người giúp với ạ.

 

Cho a, b, c $\in \left[ -1,1 \right],\,a+b+c=0$. Chứng minh rằng

              \[{{a}^{2}}+{{b}^{7}}+{{c}^{2022}}\le 2\]

 

[Sangnguyen3]

Từ giả thiết có : $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geq 0 (1) $ và $\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\geq 0 (2)$

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có $\Rightarrow 2\left ( ab+bc+ca \right )\geq -2\Rightarrow-2\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2$

Mặt khác từ giả thiết $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2$

Vì $-1\leq b\leq 1\Rightarrow 0\leq \left | b \right |\leq 1$

$\Rightarrow b^{7}\leq \left | b \right |^{7} \leq \left | b \right |^{2}=b^{2}$

Tương tự với $-1\leq c\leq 1 \Rightarrow c^{2022}\leq c^{2}$

$\Rightarrow VT\leq 2$