Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$. Chứng minh rằng $d\leq \sqrt{a+b}$ (Hay cần C/m: $d^2|a+b$)
Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$.
#1
Đã gửi 03-10-2022 - 19:13
- ThienDuc1101 yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#2
Đã gửi 03-10-2022 - 21:28
Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$
Can chung minh $d\leq x+y$
$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen
$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$
- Matthew James yêu thích
#3
Đã gửi 03-10-2022 - 21:44
Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$
Can chung minh $d\leq x+y$
$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen
$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$
Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$ và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#4
Đã gửi 03-10-2022 - 22:47
Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$ và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?
Chỗ này anh thay $x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d}$. Khi đó, ta có $d\leq \frac{a}{d}+\frac{b}{d}\Rightarrow d^2\leq a+b$. Đến đây, ta được (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 03-10-2022 - 22:47
- Matthew James yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh