Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 16-11-2022 - 20:14
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 16-11-2022 - 20:14
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Sử dụng bổ đề nếu $xy$ và $x+y$ đều nguyên thì $x,y$ nguyên
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Sử dụng bổ đề nếu $xy$ và $x+y$ đều nguyên thì $x,y$ nguyên
$(x,y)=(\sqrt 2;-\sqrt 2)$ thì sao bạn?
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.
Bài này thì dùng đa thức nguyên.
Đặt $ x = \frac{ab}{c},y = \frac{b^2c^3}{a},z = \frac{c^3a^4}{b}$ thì $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ẩn $t$: $(t-x)(t-y)(t-z) = 0$.
Dễ thấy vế trái là đa thức bậc $3$, monic và có các hệ số đều nguyên nên mọi nghiệm hữu tỉ của nó đều nguyên.
Mà $x,y,z\in\mathbb Z$ nên $x,y,z$ nguyên.
Vậy $c\mid ab$.
$(x,y)=(\sqrt 2;-\sqrt 2)$ thì sao bạn?
Lúc em phát biểu có hơi nhầm tí ạ . Em xin phát biểu lại bổ đề như sau: Với $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $x+y$ và $xy$ nguyên thì $x,y$ nguyên.
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Bắt đầu bởi Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh