Cho $a, b, c $ thỏa mãn $a + b + c = 3$ chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 13-03-2023 - 21:42
bđt
#1
Đã gửi 13-03-2023 - 21:42
#2
Đã gửi 13-03-2023 - 21:48
Ta có $\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}= a-\frac{ab}{2}\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\geq a-\frac{ab}{2}$
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
- ThienDuc1101 và Leonguyen thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh