Chủ đề này có 8 trả lời

[Lyua My]

Tính giới hạn sau:

$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+cos(2n)}$

[Konstante]

Có vài đánh giá mà mình bị ngộ nhận, giờ mình còn không dám chắc là nó có hội tụ không nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 30-10-2023 - 21:11

[Lyua My]

Dãy này không hội tụ.

Mk nên dùng cách nào để CM điều này ạ ??

[Konstante]

Mk nên dùng cách nào để CM điều này ạ ??

Mình đọc nhầm đề bạn ạ, mình nghĩ $n$ là số thực nên đưa ra phản ví dụ. Nhưng nếu $n \in \mathbb{N}$ thì giới hạn trên bằng $1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 28-10-2023 - 20:15

[Lyua My]

Mình đọc nhầm đề bạn ạ, mình nghĩ $n$ là số thực nên đưa ra phản ví dụ. Nhưng nếu $n \in \mathbb{N}$ thì giới hạn trên bằng $1$.

Bạn có thể nêu hướng để giải ra gh bằng 1 đc ko ạ

[Konstante]

Mình đã bổ sung các ý chính cho chứng minh ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 30-10-2023 - 21:17

[tienmai]

Mình không có lời giải nhưng bình luận chút.
Bình thường ra, các bài tập tính giới hạn mà có giá trị lượng giác của số nguyên không khó đến thế này và có thể giải quyết bằng định lý kẹp. Nhưng có vẻ bài toán này không dễ giải quyết như vậy. Mình cảm thấy các bài toán có giá trị lượng giác của số nguyên có vẻ gì đó khá đáng ngại và hình như cần đến nhiều lý thuyết số hơn (liên tưởng đến định lý Niven).
Quay lại với bài toán ban đầu, mình tin là dãy này có giới hạn là $1$ và mình cũng tin là có thể sử dụng định lý kẹp, chỉ là không hề dễ dàng. Mình chú ý bài toán này ít hôm trước và có tra cứu Google với từ khóa "sine of integers", "cosine of integers", thấy có một kết quả khá ấn tượng trong bài báo "An Inequality Involving $\sin(n)$" rằng
\[ \left\vert\sin(n)\right\vert > \frac{1}{2^{n}} \]
Bất đẳng thức này được chứng minh kỳ công với các kết quả đến từ xấp xỉ Diophant và việc xấp xỉ Diophant cho số $\pi$. Mình có đọc ý tưởng lúc trước của Konstante và thấy khá hứa hẹn và cũng động đến xấp xỉ Diophant nhưng mà bạn lại không tiếp tục.
Mình cho rằng có thể có bất đẳng thức phù hợp để mà áp dụng vào bài toán này. Nếu như có một dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ sao cho $a_{n}\to 1$ và
\[ a_{n}\leq \sqrt[n]{{(\cos(n))}^{2}}\leq 1 \quad\forall n\in\mathbb{N} \]
thì có thể dùng định lý kẹp được. Vấn đề là tìm được một dãy như vậy và chứng minh được (khó vãi). Mình mạnh dạn đoán là có bất đẳng thức này
\[ \left\vert\cos(n)\right\vert > \frac{1}{2n^{\alpha}} \]
trong đó $\alpha$ là một số thực dương nào đó (mình còn đoán là $\alpha = 2$ thì được và có thử tính). Có lẽ xấp xỉ Diophantine là hướng đi hứa hẹn nhất, cho cả bất đẳng thức này lẫn bài toán tính giới hạn trong topic này.
Khi mà chưa giải được một bài toán thì gì nói cũng được mình thì nói thế này: không phải bài toán hay bài tập nào cũng có một lời giải đẹp hoặc lời giải ngắn gọn hoặc lời giải phù hợp với kiến thức của người đang cố giải nó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienmai: 01-11-2023 - 08:23

[Konstante]

...không phải bài toán hay bài tập nào cũng có một lời giải đẹp hoặc lời giải ngắn gọn hoặc lời giải phù hợp với kiến thức của người đang cố giải nó.

Mình cũng có cùng suy nghĩ vậy. Trước kia (và đôi khi ngay cả bây giờ), mình vẫn sa lầy vào việc giải bài tập. Nhưng Toán học rộng lớn quá, mất quá nhiều thời gian vào một bài tập (mà có khi chỉ là mẹo mực, hoặc trở nên rất đơn giản khi nhìn dưới quan điểm khác, hoặc dưới một hệ thống kiến thức bài bản khác), thì sợ không đủ thời gian để biết đến những kiến thức khác của Toán học.

 

Ai đã học Toán ở Pháp thì có lẽ đều biết bộ "Oraux X-ENS Algèbre/Analysis", với những bài tập khó, nhưng ngay trong cách ra đề người ta cũng để những câu hỏi trung gian để người giải biết rằng bài toán đó không phải là "từ trên trời rơi xuống".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 31-10-2023 - 19:41

[nhungvienkimcuong]

Tính giới hạn sau:

$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+cos(2n)}$

Nhìn lướt qua thì cảm giác đây là bài toán bình thường cho phổ thông, đến lúc đặt bút thì chịu  . Tìm trên mạng thấy xuất hiện ở đây.