Chủ đề này có 1 trả lời

[Tian]

Cho $X=C([0;1])$ là không gian các hàm liên tục trên $[0;1]$. Xét hai chuẩn:

$\left \| x \right \|=\underset{t\in[0;1]}{sup}\left | x(t) \right |;$

$\left \| x \right \|_{1}=\int_{0}^{1}\left | x(t) \right |dt,x\in X$

Xét sự hội tụ của dãy $(x_{n})$ xác định bởi $x_{n}(t)=t^{3}+n(t^{n}-t^{n+1})$ theo hai chuẩn trên.

[nmlinh16]

Ta chứng minh $(x_n)$ không hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$.

Thật vậy, sự hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$ chính là hội tụ đều, nên nếu $x_n$ hội tụ về một hàm $x$ theo chuẩn $|| \cdot ||$ thì $x_n$ hội tụ đều về $x$, nói riêng thì nó hội tụ điểm, hay $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = x(t)$ với mọi $t \in [0,1]$.

Nhận xét rằng, với $0 \le t < 1$ thì $\lim_{n \to +\infty} nt^n = 0$, nên $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = t^3$. 

Với $t = 1$ thì $x_n(1) = 1 = 1^3$ với mọi $n$.

Vậy ta có $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = t^3$ với mọi $t \in [0,1]$. Vậy $x(t) = t^3$ với mọi $t \in [0,1]$.

Từ đây ta sẽ chỉ ra điều mâu thuẫn rằng $x_n$ không hội tụ về $x$ theo chuẩn $||\cdot||$. Thật vậy, ta có $$||x_n - x|| \ge ||x_n(\tfrac{n}{n+1}) - x(\tfrac{n}{n+1})|| = (\tfrac{n}{n+1})^{n+1} \to \tfrac{1}{e}$$ khi $n \to +\infty$. 

Vậy ta kết luận rằng $(x_n)$ không hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$.

 

Ngược lại, ta kiểm tra rằng $$||x_n - x||_1 = \int_0^1 |nt^n - nt^{n+1}|\,dt = \int_0^1 (nt^n - nt^{n+1})\,dt = \tfrac{n}{n+1} - \tfrac{n}{n+2} \to 0$$ khi $n \to +\infty$, nên $(x_n)$ hội tụ về hàm $x(t) = t^3$, theo chuẩn $||\cdot||_1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-12-2023 - 01:03