Chủ đề này có 1 trả lời

[Tian]

Cho X là không gian các đa thức một biến với chuẩn $\left \| p \right \|=\int_{0}^{1}\left | p(t) \right |dt, p\in X$ và ánh xạ $B:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ xác định bởi $B(p,q)=\int_{0}^{1}p(t)q(t)dt, p,q \in X$. Chứng minh rằng B là ánh xạ song tuyến tính, liên tục theo từng biến nhưng không liên tục trên $X\times X$.

[nmlinh16]

$B$ liên tục theo biến $p$ khi cố định $q$:

Vì $q$ là hàm đa thức nên liên tục, vì thế bị chặn trên $[0,1]$, hay tồn tại $C > 0$ để $|q(t)| \le C$ với mọi $t \in [0,1]$, từ đó $$|B(p,q)| \le \int_0^1 |p(t)|C\,dt = C\|p\|$$ với mọi $p \in X$, hay ánh xạ tuyến tính $p \mapsto B(p,q)$ liên tục.

$B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục:

Với mọi $n$ nguyên dương, xét $p_n(t) = t^n$, $q_n(t) = t^n$. Thế thì $$\|p_n\| = \|q_n\| = \int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{n+1}.$$ Mà $$B(p_n,q_n) = \int_0^1 t^{2n}\,dt = \frac{1}{2n+1},$$ suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{|B(p_n,q_n)|}{\|p_n\|  \|q_n\|} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2}{2n+1}  = +\infty,$$ vì thế không tồn tại hằng số $C > 0$ sao cho $$|B(p,q)| \le C \|p\| \|q\|$$ với mọi $p,q \in X$, nên $B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 16-12-2023 - 01:58