Chủ đề này có 11 trả lời

[katcong]

Đề thi kèm ảnh. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 24-12-2023 - 17:45

[nguyenhuybao06]

Mình xin góp câu bất đẳng thức. 

Ta có $$(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca)^2\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca=3$$

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có $$\left( \sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\left[ (a+3)^2+(b+3)^2+(c+3)^2 \right]\geq\left(a+b+c+9 \right)^3   $$

Ta chứng minh $$(a+b+c+9)^3\geq36\left[ (a+3)^2+(b+3)^2+(c+3)^2 \right]$$

Hay $$(a+b+c+9)^3\geq36(a^2+b^2+c^2+6a+6b+6c+27)$$

Hay $$(a+b+c+9)^3\geq36\left[(a+b+c)^2+6(a+b+c)+21 \right] $$

Đặt $a+b+c=x$ $(x\geq3)$, bất đẳng thức viết lại thành $$(x+9)^3\geq36(x^2+6x+21)$$

Khai triển hai vế, quy về chứng minh $$ x^3+27x^2+243x+729\geq36x^2+216x+756\Leftrightarrow x^3-9x^2+27x-27\geq0\Leftrightarrow(x-3)^3\geq0$$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do $x\geq3$. Vậy ta có $$\left( \sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\left[ (a+3)^2+(b+3)^2+(c+3)^2 \right]\geq36\left[ (a+3)^2+(b+3)^2+(c+3)^2 \right]$$ 

Suy ra $$\left( \sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\right)^2\geq36\Leftrightarrow P= \sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\geq6$$

Vậy $minP=6$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

[perfectstrong]

Lớp 9 học giải phương trình đa thức rồi à

Bài III.1. Đặt $p= \deg P, q=\deg Q$. Từ giả thiết $P(Q(x))=P(x)Q(x)$, ta có $pq = p +q \Leftrightarrow (p-1)(q-1)=1 \Leftrightarrow p = q = 2$.

Đặt $P(x)=x^2+ax+b$ và $Q(x)=x^2+cx+d$.

\[P\left( {Q\left( x \right)} \right) = P\left( x \right)Q\left( x \right) \quad (1)\]

So sánh hệ số $x^3$, ta có \[2c=a+c \Rightarrow c=a\]

So sánh hệ số $x^2$, ta có \[{a^2} + a + 2d = {a^2} + b + d \Rightarrow d = b - a\]

Tiếp tục với hệ số tự do: \[{b^2} - ab + b = {b^2} - ab \Rightarrow b = 0 \Rightarrow d =  - a\]

Vậy $P(x)=x^2+ax, \, Q(x)=x^2+ax-a$. Do đó

\[Q\left( {2024} \right) - P\left( {2023} \right) = {2024^2} + 2024a - a - \left( {{{2023}^2} + 2023a} \right) = 4027\]

[nhungvienkimcuong]

Lớp 9 học giải phương trình đa thức rồi à

Các bạn lớp 9 hiện tại học nhiều ghê anh ạ  .

 

Bài V.

1) Cho $2024$ số nguyên dương $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ được viết thành một hàng ngang theo thứ tự đó, thỏa mãn $x_1=1$ và với mỗi $k\in\{,1,2,\dots,2024\}$, tổng của $k$ số liên tiếp bất kì trong hàng chia hết cho $x_k$. Chứng minh rằng $x_{2024}\le 2^{1012}-1$.

Với mỗi số nguyên $n$ đặt $X_n=x_1+x_2+\dots+x_n$, từ giả thiết dễ thấy

\[x_n\mid X_{n-1},\qquad x_{n+1}\equiv 1\pmod{x_n}.\tag{$\ast$}\]

Trước tiên ta sẽ nháp để xem các giá trị của dãy số như thế nào. Dễ thấy $x_2=1$ và $x_3\in \{1,2\}$, với hai trường hợp của $x_3$ thì ta sẽ tính các giá trị khác với mong muốn mỗi giá trị $x_n$ đạt giá trị lớn nhất, đồng thời thỏa mãn điều kiện $(\ast)$.

\[\begin{array}{c|cccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\\hline x_n& 1& 1& \color{red}{2}& 1& 1& 2& 1& 3& 4& 1 \\ X_n& 1& 2& 4& 5& 6& 8& 9& 12& 16&  \end{array}\qquad \begin{array}{c|cccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\\hline x_n& 1& 1& \color{red}{1}& 3& 1& 7& 1& 15& 1& 31 \\ X_n& 1& 2& 3& 6& 7& 14& 15& 30& 31&  \end{array}\]

Từ đây ta thấy rằng các giá trị của $x_{2n}$ lớn hơn khi $x_3=1$ và cũng phù hợp với yêu cầu chứng minh của đề bài  . Cũng dựa vào bảng giá trị thì nghĩ đến việc quy nạp đồng thời

\[X_{2n}\le 2^{n+1}-2\qquad\text{và}\qquad x_{2n}\le 2^n-1.\]

Spoiler

Giả sử mệnh đề đúng tới $n=k-1$, ta sẽ chứng minh cho trường hợp $n=k$. Theo $(\ast)$ thì

\[x_{2k}\mid X_{2k-1},\]

vì dấu bằng xảy ra nên ta sẽ đánh giá dựa vào quan hệ trên. Do $x_{2k}\equiv 1\pmod{x_{2k-1}}$ nên ƯCLN$(x_{2k},x_{2k-1})=1$, ngoài ra $x_{2k-1}\mid X_{2k-1}$ do đó

\[x_{2k-1}x_{2k}\mid X_{2k-1}\implies x_{2k-1}x_{2k}\le X_{2k-1}=X_{2k-2}+x_{2k-1}\implies x_{2k-1}(x_{2k}-1)\le X_{2k-2}.\]

Kết hợp giả thiết quy nạp và bất đẳng thức $a+b-1\le ab$ ta có

\[x_{2k-1}+(x_{2k}-1)-1\le x_{2k-1}(x_{2k}-1)\le X_{2k-2}\le 2^k-2\implies x_{2k-1}+x_{2k}\le 2^k.\]

Cuối cùng thì $X_{2k}=X_{2k-2}+(x_{2k-1}+x_{2k})\le (2^k-2)+2^k=2^{k+1}-2$ và $x_{2k}\le 2^k-x_{2k-1}\le 2^k-1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2023 - 19:34

[mydreamisyou]

Câu 3.2
Idea của em sẽ là đánh giá tích $(a+3)(b+3)(c+3) \ge 64$

đưa về $p,q,r$ tức ta cần chứng minh $r+9p \ge 28$. Công việc này khá đơn giản ta chỉ việc xét $\frac{28}{9} \ge p \ge 3$.

Chú ý bđt $r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}$ .Tiếp theo là biến đổi tương đương là xong   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-12-2023 - 21:24
LaTeX

[nguyenhuybao06]

Câu 3.2
Idea của em sẽ là đánh giá tích $(a+3)(b+3)(c+3) \ge 64$

đưa về $p,q,r$ tức ta cần chứng minh $r+9p \ge 28$. Công việc này khá đơn giản ta chỉ việc xét $\frac{28}{9} \ge p \ge 3$.

Chú ý bđt $r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}$ .Tiếp theo là biến đổi tương đương là xong   

Schur cũng khá gọn nhưng để chứng minh Schur và hệ quả của nó trong phòng thi thì không được thực dụng lắm. 

[MHN]

Câu II,2:

$\left | x-2023 \right |+2(y^{2}-6y+9)+4z^{2}-12z+9-7=0$

$\left | x-2023 \right |+2(y-3)^{2}+(2z-3)^{2}=7$

Vì $2(y-3)^{2}$ chia hết cho 2 suy ra $2(y-3)^{2}$ $\begin{Bmatrix} 2,8 \end{Bmatrix}$

Loại 8 vì 8>7 $\Rightarrow 2(y-3)^{2}=2\Leftrightarrow (y-3)^{2}=1$

rồi xét các TH

Làm tương tự với $(2z-3)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-12-2023 - 12:14

[MHN]

Câu I,2:

Đk: $x\geqslant \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2(2\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+3})=x-1$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{8x-4}-\sqrt{x+3})=x-1$

$\Leftrightarrow \frac{8x-4-x-3}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}}=x-1$

$\Leftrightarrow \frac{7x-7}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}}=x-1$

$\Leftrightarrow \frac{7(x-1)}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}}=x-1$

$\Leftrightarrow (x-1)(1-\frac{7}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}})=0$

$\Rightarrow x-1=0$ hoặc $1-\frac{7}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}}=0$

Mà $1-\frac{7}{\sqrt{8x-4}+\sqrt{x+3}}\neq 0$

$\Rightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: S={1}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-12-2023 - 17:45

[mydreamisyou]

Schur cũng khá gọn nhưng để chứng minh Schur và hệ quả của nó trong phòng thi thì không được thực dụng lắm.

Bdt Schur được dùng thẳng nhé. Còn nếu chứng minh thì 2 dòng.

[MHN]

https://diendantoanh...p-đổi-biến-pqr/

[thvn]

Còn mấy phần chúng ta làm nốt nhỉ:

Câu I.1. Cộng theo vế vào rồi nhóm cùng biến và phân tích thành nhân tử sẽ dẫn đến (a - 2), (b - 2) và (c - 2) phải có ít nhất 1 số <= 0.

Chẳng hạn a <= 2, khi đó sẽ xảy ra:

Nếu a < 2 suy ra c < 2 suy ra b < 2 suy ra a = b = c = -1

Nếu a = 2 suy ra b = c = 2.

Từ đó tính được P.

Câu I.2. Có thể làm như bạn ở trên hoặc có một cách khác là đưa về hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương.

Câu II.1. Đặt 2m + 5n = a^3 và 2n + 5m = b^3.

Trừ theo vế suy ra b^3 - a^3 chia hết cho 3 .Khi đó chỉ ra được b^3 - a^3 chia hết cho 9

suy ra m - n chia hết cho 3. Do vậy m^3 - n^3 phải chia hết cho 9.

[nhancccp]

Còn mấy phần chúng ta làm nốt nhỉ:

Câu I.1. Cộng theo vế vào rồi nhóm cùng biến và phân tích thành nhân tử sẽ dẫn đến (a - 2), (b - 2) và (c - 2) phải có ít nhất 1 số <= 0.

Chẳng hạn a <= 2, khi đó sẽ xảy ra:

Nếu a < 2 suy ra c < 2 suy ra b < 2 suy ra a = b = c = -1

Nếu a = 2 suy ra b = c = 2.

Từ đó tính được P.

Em xin đưa ra một cách như sau:ta giả sử $a\leq b\leq c$ sau đó ta đi đánh giá các vế và đưa ra kết luận $a=b=c$,thế vào vế thứ nhất ta được $a^3-3a-2=0 \Leftrightarrow (a-2)(a+1)^2=0$,đến đây ta dễ dàng tính được $P$