Chủ đề này có 3 trả lời

[Hahahahahahahaha]

giải phương trình: $15(x^{3}+x^{2}+2x)=4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$

[nhancccp]

ĐK:$x \geq 0$

Xét $x>2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$(VT<VP)

Xét $x<1$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT<VP)

Xét $1<x<2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)>4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT>VP)

Xét $x=1$ và $x=2$ là nghiệm của phương trình (VT=VP)

Vậy nghiệm của phương trình là S={1;2}

[Baoriven]

Một kinh nghiệm của mình khi gặp người quen $x^4+4$ là sẽ phân tích thành nhân tử $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Bài này cũng không ngoại lệ.

 

Ngoài ra, dễ dàng thấy ngay (đặt $x$ ở VT ra ngoài) thì $x$ dương.

 

Khi đó ta viết lại như sau:

$$15x(x^2+x+2)=4\sqrt{5}(x^2+2)\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}.$$

 

Nhận xét, ta thấy $x^2+2$ xuất hiện ở cả hai bên, nên lợi dụng việc này, chia cả hai vế cho $x^2$ (được thực hiện do $x=0$ không là nghiệm).

Và ta viết lại được:

$$15(x+\dfrac{2}{x}+1)=4\sqrt{5}(x+\dfrac{2}{x})\sqrt{\bigg(x+\dfrac{2}{x}-2\bigg)\bigg(x+\dfrac{2}{x}+2\bigg)}.$$

 

Đặt $t=x+\dfrac{2}{x}>0$. Khi đó, PT trở thành:

$$15(t+1)=4\sqrt{5}t\sqrt{t^2-4}.$$

 

Đến đây, có thể mạnh dạn bình phương vì bậc $4$ cũng không khó. Tuy nhiên do $t=3$ đã là nghiệm thì sẽ còn lại PT bậc $3$ có thể dẫn đến nghiệm thực khó kiểm soát (phỏng đoán) nên mình sử dụng phương pháp đánh giá. 

 

Ta thấy $t=3$ thì $\sqrt{t^2-4}=\sqrt{5}$, làm mình nghĩ đến áp dụng BCS cho hai số hạng này ở VP.

$$\dfrac{15(t+1)}{2t}=2\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\leq t^2+1\Rightarrow t\geq 3.$$

 

Đến đây, ta chỉ cần khéo léo để ra được $t\leq 3$ là done!

$$\dfrac{15(t+1)}{4t}=\sqrt{5}\sqrt{t^2-4}\geq 5\Rightarrow t\leq 3.$$

 

Vậy $t=3$, dẫn đến $x\in \{1,2\}$. 

 

P/S:

1. Ở trên là hướng suy nghĩ giải của mình, hoàn toàn tự nhiên, chứ không "học thuộc bài" hoặc rơi vào dạng nào.
2. Các kỹ thuật phân tích nhân tử, tìm điểm chung, đặt ẩn mới và tìm giới hạn (điều kiện) của ẩn cần được sử dụng nhuần nhuyễn.
3. Kinh nghiệm!

[Hahahahahahahaha]

 đặt $x+\frac{2}{x}=t >0$

pt sau khi bình phương: $.....<=>(t-3)(16t^{3}+48t^{2}+35t+15)=0$

do $t>0$ nên dễ suy ra $t=3$...

 cách của anh Baoriven chia sẻ cũng rất hay   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 16-01-2024 - 11:50