Lời giải:
Đặt $P=3x^2+2y^2$
Ta có:
$x^2-y^2+2xy=5$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=2y^2+5$
$\Leftrightarrow x=-y+\sqrt{2y^2+5} \wedge x=-y-\sqrt{2y^2+5}$
TH1: $x=-y+\sqrt{2y^2+5}$
Khi đó:
$P=3(-y+\sqrt{2y^2+5})^2+2y^2=11y^2-6y\sqrt{2y^2+5}+15$
Ta đi chứng minh: $11y^2+5\geq 6y\sqrt{2y^2+5}$
BĐT trên tương đương với $(7y^2-5)^2\geq0$ ( Luôn đúng với mọi $y$ $\in \mathbb{R}$ )
Khi đó: $P=(11y^2+5-6y\sqrt{2y^2+5})+10\geq10$ với mọi $y$ $\in \mathbb{R}$
Đẳng thức xảy ra khi:
$\left\{\begin{matrix} 7y^2=5 & \\ x=-y+\sqrt{2y^2+5} & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ x=2\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$ $\wedge \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ x=4\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$( Loại )
TH2: $x=-y-\sqrt{2y^2+5}$
Khi đó:
$P=3(-y-\sqrt{2y^2+5})^2+2y^2=11y^2+6y\sqrt{2y^2+5}+15$
- Nếu $y\geq 0$
$\left\{\begin{matrix} 11y^2\geq0 & \\ 6y\sqrt{2y^2+5}\geq 0 & \end{matrix}\right.$
Khi đó: $P \geq 15$
- Nếu $y<0$
Đặt $y=-t$ với $t>0$
Khi đó: $P=11t^2-6t\sqrt{2t^2+5}+15$
Chứng minh tương tự như TH1 ta được $P \geq 10$
Đẳng thức xảy ra khi:
$t=\sqrt{\frac{5}{7}}$ $\Leftrightarrow y=-\sqrt{\frac{5}{7}}$ $\Leftrightarrow x=-2\sqrt{\frac{5}{7}}$
Vậy $minP=10 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ y=\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.\wedge \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\sqrt{\frac{5}{7}} & \\ y=-\sqrt{\frac{5}{7}} & \end{matrix}\right.$
Nhận xét: Lời giải khá thủ công và sai kí hiệu kết luận dấu bằng xảy ra.
Điểm: 7/10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-02-2024 - 23:06